GIRO

Título:  GIRO SOBRE GIRO. Teselados y algo más 2.

Autor: Miguel A. Gañán. Ingeniero Aeronáutico por la U. P. M (Universidad Politécnica de Madrid).

Impreso en Polonia por Amazon. 212 páginas

Mucho antes de 1995 me había hecho socio de la AEP movido por el interés que me suscitaban las figuras de animales en papel plegado como asiento de una visión especial de relieves planos con sus discontinuidades resaltadas por los contrastes de luces y sombras.

Mi predilección se orienta hacia las figuras planas que se apoyan en el arte del aplastamiento, y hacia las curvadas que reclaman ingenio para no salirse de los límites que impone la docilidad del papel.

Con estas declaraciones sólo me falta añadir que el libro de Gañán me ha parecido una maravilla. Sorprende que un ingeniero aeronáutico no haya titulado este su libro como “Rizar el rizo” que es cuestión bien practicada por pilotos acróbatas; el libro resulta cosa espectacular. Supongo que por parecerle superfluo, él no ha incluido los fundamentos de sus desarrollos, pero yo los voy a recordar ahora con brevedad por si al lector le interesan.

Hablo de recordar porque la cuestión ya la traté en mi libro MATEMÁTICAS Y PAPIROFLEXIA

http://www.caprichos-ingenieros.com/ewExternalFiles/Extraordinario%202000.pdf

que escribí para la AEP y que ésta publicó en el año 2000 como número especial de los boletines mensuales, en la convención de Aranjuez.

En el Capítulo 8.2.8.4, pág. 61 se ve el teorema del incentro o de Fushimi que está en la raíz de todas las cuestiones de aplastamiento. El libro de Gañán está apoyado en tramas cuadrangulares o de triángulos equiláteros. Veamos por qué. Cualquier CP (crease pattern, diagrama de plegado) está lleno de vértices o nodos en los que concurren líneas de plegado. Para que en ese nodo pueda haber aplastamiento han de cumplirse estas condiciones: a) Las líneas concurrentes han de estar en número par (sólo pueden ser de dos tipos: en monte o en valle). b) Tomados los ángulos de vértice común en el nodo, en un determinado orden de giro (horario, p.e), y sumando los grados de los ángulos alternos, llegamos siempre a un total de 180. c) la diferencia de líneas en monte o valle, será igual a 2.

Las tramas de cuadrados o triángulos equiláteros dan mucho juego a la hora de reunir sumandos que den 180º de números enteros. En el primer caso tenemos: 45; 90; 135. Y en el segundo 30; 60; 90; 120; 150. En las Figs 1 y 2 se puede apreciar este detalle.

Fig.1

Fig.2

Unos capítulos más adelante me ocupo de aplicaciones prácticas del aplastamiento y de los teselados con desarrollos de H. Honda, F. Rhom, K. Suzuki en el primer caso, y de Forcher, Penrose, Chris K. Palmer, Alex Bateman, P. Taborda, en el segundo.

En cuanto vi que la AEP ofrecía el libro, me faltó tiempo para encargar a mi hija que me lo comprara. Lo hizo, lo vio y, al hojearlo, se detuvo en las cajas con teselados del final, y exclamó: ¡Yo quiero una de éstas!

Acepté, con reservas e, incluso, pensé ampliar la oferta para poner reyes a las diez mujeres de mi entorno familiar. ¿Por qué mis reservas?

Yo no tengo ya mi cabeza para los muy complejos desarrollos plurimoleculares del libro (no digo ya para crear otros nuevos). El libro llama moléculas a las figuras elementales que incorporan aplastamiento al giro. Además, no dispongo de los papeles recomendados (con transparencias incluidas). El autor propone una serie de herramientas a las que yo he añadido cinco que me han resultado de gran utilidad: El portátil Mac Book Pro, Photoshop, Libre CAD, unas tijeras y un frasco de cola blanca.

Photoshop me ha resuelto lo del colorido del papel que no tengo. El CAD me ha permitido dibujar con la facilidad y precisión que no ofrece el estupendo pero tedioso sistema que se da en el libro para conseguir las tramas triangulares o cuadradas. Y para construir con calidad exquisita sobre ellas los diferentes Diagramas de Plegado. La cola me ha servido para pegar los adornos moleculares en la tapa de las cajas y para dominar la resistencia a plegarse la cartulina de tapas y cajas. De las tijeras daré más detalles después.

Para las cajas y sus tapas he empleado cartulina Canson de 0,3 mm de espesor. La dificultad de copiar sobre ella los CP salidos del ordenador me ha llevado a ingeniármelas de la siguiente forma: Hube de calcar las figuras expuestas en la pantalla del ordenador marcando por transparencia con un lápiz los vértices sobre un DIN A4 de fotocopias. Para evitar errores, previamente engrosé el espesor de los segmentos a 1 mm.

A continuación, tracé sobre el papel con lápiz y regla los segmentos de unión de los vértices. Así me quedó un DIN A4 como plantilla para, pinchando con la punta de la tijera sobre los vértices, obtener en la cartulina el CP deseado. He podido constatar fabricando 10 conjuntos de cajas / tapas que el sistema ha funcionado muy eficazmente.

Los CP de caja y tapa son tan semejantes que sólo mostraré el de la caja (Fig. 3). En cambio, podemos ver en las Figs. 4 (caja) y 5 (tapa) los detalles de plegado que las distinguen. Con éstos es fácil el plegado sin necesidad de acudir a la simbología monte / valle.

El hexágono de la tapa es, lógicamente, mayor que el de la caja. En el libro propone el autor una holgura mínima de la que yo he tenido que apartarme a causa del grosor de la cartulina. He adoptado una holgura grande que se compensa con las puntas de cornisa plegada al exterior que en la caja hacen de muelle de retención de caja y tapa (Fig. 4). La cornisa de la tapa se pliega hacia el interior. La altura de la caja es mayor que la de la tapa. Al exterior de la tapa van pegadas tres moléculas triangulares y una hexagonal en su centro. Sus colores guardan una cierta relación.

Fig. 3