Otra excepción la tenemos en la página 207. Copio:

<… Un ejemplo típico es el de Alex Rowe que en 1797 preguntó cómo trazar un triángulo rectángulo dadas las longitudes de las dos rectas que lo dividen en dos a través de sus otros dos ángulos, no rectos (es decir, que lo bisecan); es un problema elegante que podía haber aparecido en los Elementos. Unas dos docenas de lectores aportaron soluciones correctas.

Antes de seguir, debo decir que lo que he subrayado del enunciado estaría mejor expresado así: “bisectrices de los ángulos agudos”

No sé si mi solución es elegante pero es sencilla, práctica y realista. Yo voy a darlo por resuelto en la Fig. 9. Es el triángulo ABC cuyas bisectrices concurren en el incentro O. Llamaré bZC  a la bisectriz del ángulo C y bZB a la del B. No hay que decir que también se conoce la dirección (no su longitud) de la bisectriz del ángulo recto; sobre ella ha de caer la intersección de las otras dos bisectrices

Las longitudes medidas en la figura para bisectrices (distancias de vértice a lado opuesto) y lados del triángulo son éstas:

bZC =  184,0852

bZB = 104,4251

a = 200

b = 179,2195

c = 88,7180

Fig. 9

Fig. 10

Fig. 11

Fig. 12

Supondremos que lo único conocido según el enunciado son los dos valores de las bisectrices de los ángulos agudos. El proceso será:

Dibujar un ángulo recto cualquiera mayor que el de la Fig.9, según la Fig. 10. Sus catetos medirán 210 y 130 (por ejemplo; para que el ángulo recto resulte mayor). La copia se hará en cartulina. Se harán los pliegues marcados en él para conseguir la Fig. 11 en la que se ve que los catetos del ángulo recto se han convertido en sendos raíles en cuyo interior deslizarán las puntas de las dos deslizaderas representantes de las bisectrices.

Esas bisectrices se obtienen, en cartulina, según la Fig. 12. Son las bases de sendos trapecios. La grande medirá entre puntas 184 y la pequeña 104. Como se ve, la Fig. 10 puede acoger a la 9, para comprobar lo efectiva que es la maniobra de las deslizaderas.

La maniobra consiste en encarrilar las puntas de las deslizaderas que se cruzarán con la bisectriz del ángulo recto de manera que una punta de la grande coincida con C y otra de la pequeña con B. Hecho esto se comprueba que los lados del triángulo miden exactamente lo que tenemos listado más arriba.

Como realmente no conocemos la posición de los vértices ABC, se precisa de un tanteo previo: Encarrilando las dos bisetrices de la Fig. 12 se pueden marcar dos familias de bisectrices sobre el plano del triángulo, de manera   que ccuando se vean dos marcas (una de cada familia) que se cortan sobre el mismo punto de la bisectriz del ángulo recto, habremos dado con la solución.

Ahora voy a dar un salto de gigante para plantarme en la página 380 con algo realmente curioso. Un pintor norteamericano se acerca al teorema de Pitágoras según la demostración de Euclides en sus Elementos, lo deconstruye para reconstruirlo a continuación como obra de arte que, por cierto, a mí me encanta. Se trata de Crockett Johnson (1906- 1975).

Tengo entendido que hay 365 formas distintas de demostrar el teorema de Pitágoras, una por cada día del año. No sé si será cierto, pero el caso es que Euclides lo demostró apoyándose en la semejanza de ciertos triángulos rectángulos.

La Fig. 13 es el resumen del teorema que Euclides demuestra para el triángulo rectángulo ABC. Se basa en la semejanza de estos triángulos rectángulos:

ABC y ABD (tienen el ángulo B común).

ABC y ADC (tienen el ángulo C común)

Así, podremos escribir:

AB / BC = BD / AB

AB2 = BC * BD

Esto expresa que el área del cuadrado de lado AB es igual que la del rectángulo de lado menor BD.

Análogamente

AC / BC = DC / AC

AC2 = BC * DC

Indicación de que el área del cuadrado de lado AC es igual a la del rectángulo de lado menor DC.

Resultado final:

La suma de las áreas de los dos rectángulos (el cuadrado de la hipotenusa) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos.

Lo que Johnson hace es deconstruir la Fig. 13 para reconstruirla a su manera FIgs. 14 y 15 y construirla después como obra de arte (Fig. 16).