PITÁGORAS

     Las demostraciones geométricas de su famoso teorema son tan abundantes que mi amigo Mariano me dice haber visto hasta 365, una para cada día del año. Yo, en la pág. 67 de mi muestro solamente tres.

Estamos tan acostumbrados a enunciar el teorema como que en un triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre su hipotenusa tiene la misma área que la suma de las de los dos cuadrados construidos sobre sus catetos, que nos olvidamos de una cosa obvia: que todos los cuadrados son semejantes.

Recordemos que dos polígonos son semejantes cuando tienen iguales todos sus ángulos correspondientes y sus lados homólogos son proporcionales, llamándose razón de semejanza al cociente de las longitudes de dos lados homólogos.

Como cualquier polígono se puede triangular, dos polígonos semejantes se podrán triangular según triángulos semejantes.

La consecuencia es que la razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza, que es cosa clara para los triángulos y, por tanto, para la suma de los que forman un polígono triangulado.

En la figura se ha representado un triángulo rectángulo inscrito y sobre sus lados tres polígonos semejantes entre sí. Su razón de semejanza es la de dichos lados.

Llamemos a y b a los catetos del triángulo y c a su hipotenusa, y Sa, Sb y Sc a las respectivas áreas de los tres polígonos asociados a los catetos y a la hipotenusa del triángulo. Tendremos:

         Sumando estas dos igualdades, será:

Como el primer miembro es la unidad, también lo será el segundo, es decir: