TERCERO

Partimos de un cuadrado de 7 x 7 (Fig. 6) dividido en estas 5 piezas: MR, BL, AZ, VR y AM.

Fig. 6

Esa Fig. 6 se recompone luego según la Fig. 7 que muestra, por arte de magia, un cuadrado nuevo en su centro, el GR. Intentemos descubrir el truco.

En la Fig. 6 se observa que el segmento frontera BL / AZ (que es la base menor de AZ) mide 5 + x. La semejanza de los correspondientes triángulos rectángulos da: (1 + x) / 2 = 4/ 7 con  x = 1 /7 como resultado. Así pues, la base menor de AZ mide 5 + 1 /7.

Al pasar a la Fig. 7 hemos asignado 5 como medida de la base menor de AZ, cosa que no es cierta. En la realidad, al ponerle su valor real de 5 + 1 /7 lo que hemos hecho es elevar la altura del gran cuadrado (que por tanto dejará de serlo) 1 / 7 de cm (inapreciable). Pero ese 1 / 7 multiplicado por los 7 cm de base (que no se alteran), nos da el cm2 que necesitamos para crear GR.

Fig. 7

CUARTO

El enunciado miente así:

“Los dos triángulos [grandes, a la izquierda] de las figs. 8 y 9 son iguales; también son iguales las 4 piezas que los componen; sin embargo, en la Fig. 9 sobra un cuadrado. ¿De dónde sale?”

Ya se sabe que los magos mienten más que hablan, pero con unas mentiras tan sutiles, tan bien dichas, tan sugestivas, tan plausibles, … que da gusto dejarse engañar por ellos.

Para empezar, aquellos dos triángulos de 5 × 13, ni son triángulos, ni son iguales. Ampliados según las Figs. 10 y 11 se ve que se trata, respectivamente, no de los triángulos ABC, sino de los cuadriláteros ABCX y ABCY.

Fig. 8

Fig. 9

Fig. 10

Fig. 11

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En dichas Figs. 10 y 11 se ve que ABCX < ABC y ABCY > ABC. Esas diferencias (dos triángulos muy estilizados -los ACX y ACY- de igual área como se ve luego), sumadas, suponen el área de 1 cm 2 que es la del cuadrado que aparece nuevo en la Fig. 9.

Todo viene de que la pendiente de las hipotenusas de los triángulos pequeño y mediano son muy parecidas, pero distintas: 2 / 5 ≠ 3 / 8 ; 0,4 > 0,375.

Hallemos el área de los triángulos ACX y ACY:

Área de ACX = ABC – 3 × 5 – (1/ 2) (5 × 2) – (1/ 2) (8 × 3) = (1 /2) (13 × 5 - 5 × 2 - 8 × 3) - 3 × 5 = 0,5

Área de ACY = (1/ 2) (5 × 2) + 2 × 8 + (1/ 2) (8 × 3) - (1 /2) (13 × 5) = 0,5

La suma de ambos es igual a 1 cm2: el área del cuadrado aparecido en la Fig. 9.