QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

INICIO


ProbVela


Disponemos, Fig. 1, de una vela de cera, perfectamente cilíndrica, de radio R y generatriz g, rodeada por una hoja de papel fija sobre su superficie curva. Para situarla en el sistema de representación conocemos también el valor de h en el alzado.


Vamos a cortarla, con papel y todo, por un plano que forma el ángulo A con la línea de tierra, es decir, con el plano horizontal de planta. Por comodidad se ha tomado A = 45º.


La pregunta es :¿Qué efecto tiene el corte sobre la cera y sobre el papel?

Fig. 1

Fig. 3

Fig. 2

SOLUCIÓN

A partir de la fig. 1 se puede dibujar la 2 cuya parte superior izquierda muestra la elipse de cera que deja el corte. De ella se conocen sus semiejes a y b = R. Y asimismo c = √ (a2 – b2) por si se quiere construir la elipse a partir de sus focos.


Veamos ahora lo que pasa con el papel según se ve también en la Fig. 2.

Se ha dividido la circunferencia de la planta en n partes iguales (por comodidad, he hecho n = 8) para ver en el alzado las correspondientes alturas tipo h (desde el plano horizontal al de corte).


Se ha trazado el segmento CD de longitud igual a la de la circunferencia y se ha divido en n partes. Sobre ellas se han elevado las alturas h (rojas) que corresponden sobre las generatrices del cilindro. Uniendo los extremos superiores de estas nuevas 9 alturas rojas de la derecha se tiene la sinusoide en que se ha cortado el papel. La primera de la izquierda y la última de la derecha coinciden  cuando este desarrollo de papel se enrolla sobre el cilindro.


La horizontal verde por el centro de la elipse es la línea de ordenada cero de la sinusoide resultante. Todo esto que parece verosímil, hay que demostrarlo; veamos.



En la Fig. 3 se ha colocado el origen O de coordenadas de la sinusoide de tal manera que ésta representa la función coseno y no la seno (y = R cos x).


x puede representar tanto el ángulo B = 45º como la longitud de 1 / 8 de circunferencia, en nuestro caso.


Veamos ambas alternativas.

     

1ª: y = R cos x = 20 cos 45 = 20 * (1 / √ 2) = 10 √2 = 14,1 que son las unidades de pantalla que se pueden leer en la Fig. 3.


2ª: tg A = y / R cos B


y = tg A * R cos B = 1 * 20 cos 45

     con lo cual estamos en el caso de la 1ª alternativa.