Pgs. 1 2
ProbCuadratura
Se trata de rellenar por completo un rectángulo de 106 mm de base y 99 mm de altura, con 12 cuadrados pequeños sin solaparse y distintos todos entre sí (cuadraditos). La longitud de sus lados ha de expresarse en números enteros positivos.
Antes de nada tengo que explicar que cuando vi en Internet una Fig. como la 14 y la comparé con otras, me engañó con una especie de distopía que me llevó a pensar que se trataba de un cuadrado. Pues no, era un rectángulo muy parecido a un cuadrado que se acompañaba del grafo que lo engendró. Y se decía que ambos, grafo y cuadrado se mostraban como modelo de lo que había que hacer cuando se quería partir de un cuadrado y no de un rectángulo, a rellenar con cuadraditos distintos.
Lo que no decía es qué grafo había que diseñar.
Me pareció que debía de ser muy fácil la maniobra transformadora: Craso error. Lo intenté diseñando varios grafos diferentes sin conseguirlo; siempre llegaba a la indeseable identidad de dos cuadraditos e incluso a la situación aberrante de el lado de un cuadrado pequeño que era más grande que el del cuadrado de partida. Al final he decidido dedicarme a comentar lo que se me ocurre sobre la pareja de Figs. 10 y14, tal como hago en mi sección de libros leídos. Con ello me surgió la duda de si mi trabajo debería ir en dicha sección de libros leídos o en la de problemas. He optado por esto último dada la preponderancia geométrica que tiene la cuestión.
SOLUCIÓN
El problema no es demasiado antiguo y, después de muchos intentos vanos, un grupo de matemáticos consiguió resolverlo apoyándose en la analogía muy original que encontraron al asociarlo con una red eléctrica mediante un grafo de ésta.
Vamos a seguir paso por paso la evolución de las fases necesarias para ilustrar el grafo deteniéndonos en cada Fig. Así se puede ver lo que se aporta en cada una de ellas y cómo se consigue.
Fig. 1
Fig. 100
Fig. 1.
Es una red eléctrica en corriente continua, de las siguientes características; la red es el grafo que la representa, con apariencia de punta de diamante.
Cada segmento (arista o lado) es una resistencia eléctrica de 1 Ohmio; son 12, tantos como cuadraditos pretendemos inscribir en el rectángulo.
Lo que inicialmente conocemos del grafo es lo que muestra dicha figura 1: La disposición de sus lados que, para empezar es lo más difícil y problemático de todo. Las flechas indicadoras del sentido de la corriente; dos saliendo del polo – (donde están los electrones del cátodo de la fuente de alimentación a la que se conecta el grafo), y cuatro que, sumándolos han de dar los mismos106 Amperios (A) que entraron a los dos lados superiores. Los cuatro entrando en el polo +. Faltan las flechas de 6 lados.
La red está conectada a una fuente de alimentación entre su polo + positivo y su polo – negativo, es decir, entre esos dos nodos: del negativo salen un total de 106 A que, después de distribuirse por la red, confluyen, también como 106 A, en el nodo positivo. Hay que recordar que los 106 Amp. representan a los 106 mm de la base del rectángulo.
Ley de Ohm:
La resistencia de una arista vale R = V / I. Como hemos hecho que todas las resistencias del grafo sean de 1 Omhio resulta que la cifra de A que pasa por cualquier arista es igual a los voltios (V) de caída de tensión que se producen en ella.
La altura del rectángulo (99 mm) viene dada por los V de la caída de tensión que se produce entre el nodo – y el nodo +.
Se ha adoptado la notación moderna para expresar el sentido de la corriente que es contraria a la que antes se empleaba como de protones que se movían del polo positivo al negativo. Hoy se sabe que la corriente está formada por electrones que se mueven saliendo de donde existen: en el polo negativo.
La base del rectángulo (106) viene dada por la cantidad de Amperios (A) que hay en juego en el grafo: los 106 que entran (igual a los 106 que salen).
En esta Fig. 1 la disposición de los 12 lados de los cuadraditos en forma de punta de diamante es, tal vez, lo más original de todo. Ya se pueden imaginar que hay infinitas maneras de intentarlo (yo, sin éxito, con un octaedro, y con otras estructuras semejantes a o inspiradas en la punta de diamante). Igualmente original es el hermanamiento de dos ciencias, la Matemática (Geometría) y la Física (Electrotecnia), para resolver este problema.
Conocemos la dirección de la corriente de los 6 lados marcados con flechas: la corriente sale por dos segmentos del polo – y entra por cuatro al polo +.
A propósito de mi fracaso voy a permitirme una cuña euleriana. El teorema de Euler sobre sólidos convexos dice que Caras + Vértices = Arista +2 que, en superficies planas poligonadas se convierte en C + V = A + 1.
La Fig. 1 es una de estas últimas con 5 caras, 8 vértices y 12 aristas: 5 + 8 = 12 + 1.
El cuadrado de la Fig. 100 (izquierda) es la mínima expresión de una red como superficie plana poligonada que tiene 1 Cara, 4 Vértices y 4 Aristas y cumple: 1 + 4 = 4 + 1.
A la derecha de la Fig. 100 se ha añadido al cuadrado un arco que ha convertido la “red cuadrado” en otra red con 2 Caras, 4 Vértices y 5 Aristas: 2+ 4 = 5 + 1; 6 = 6.
Este recurso de añadir a un grafo una cara sin que se altere la exigencia de Euler, se suele emplear (yo lo hice y conseguí una mejora que no fue suficiente.) para redistribuir corrientes en el circuito eléctrico. La cara añadida representa una especie de triángulo rectángulo isósceles con su hipotenusa en curva.
Fig. 3
Fig. 2
Fig. 4