PLATON
Los 5 sólidos platónicos son poliedros regulares convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y cuyos vértices lo son de ángulos poliedros también iguales. Cumplen la ley de Euler “CARAS + VÉRTICES = ARISTAS + 2”.
Un sólido convexo es el que apoyando cualquiera de sus caras sobre un plano, queda todo él en uno de los dos semiespacios en que dicho plano divide al espacio.
Un ángulo poliedro es el formado por varios planos que concurren en un punto (su vértice).
Vamos a ver por qué sólo puede haber 5 sólidos platónicos (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro). Para ello observaremos el desarrollo de un vértice de cada uno.
Fig.1
Tetraedro.
A la izquierda de la Fig. 1 se ve el vértice A que se desarrolla a la derecha; con los dos plegados en monte se hacen coincidir las dos aristas asociadas al arco. Así se consigue el ángulo triedro A con tres caras de 60º (tres triángulos equiláteros). Para ello hemos consumido 180º en torno de A.
Octaedro.
A la derecha de la Fig. 2 se ve su vértice B que se desarrolla a la izquierda. Plegando en monte los tres lados indicados, y haciendo coincidir las dos aristas asociadas al arco, se consigue el ángulo poliedro de cuatro caras equiláteras y vértice B.
Ya se ve que en el sitio donde está dibujado el arco hay hueco para añadir un triángulo equilátero más sin agotar los 360º del entorno a B.
Fig.2
Icosaedro
Es lo que hacemos en la Fig. 3. A la izquierda se ve el desarrollo del ángulo poliedro C compuesto de 5 caras (cinco triángulos equiláteros). C es el vértice del icosaedro que se ve a la derecha.
A la izquierda de dicha Fig. 3 se ve que todavía queda espacio para añadir un nuevo triángulo equilátero, pero es inútil porque ello conduce a un desarrollo plano y no a un relieve espacial. Con ello se demuestra que no puede cerrarse “espacio esférico” exclusivamente con hexágonos regulares.
Fig.3
Hexaedro (cubo)
Ahora abandonamos el ángulo de 60º para utilizar uno de 90º. En la Fig. 4, izquierda, está señalado el vértice D de un cubo y, a la derecha, se muestra el desarrollo de ese vértice y cómo ha de plegarse para obtener un triedro con 3 caras de 90º en D.
Hasta aquí hemos manejado ángulos poliedros con caras poligonales de 3 y 4 lados. Ahora lo intentaremos con los de cinco.
Fig.4