PITAGORAS UNO

Sea el triangulo rectángulo de hipotenusa c y catetos a y b. Sobre él dibujamos la Fig. 1 en la que 4 triángulos como él rodean un cuadrado de lado b – a. Así tenemos que el área del cuadrado de lado c será igual a la suma de las de los 4 triángulos abc más la del cuadrado interior.

c2 = 4ab / 2 +(b - a)2

c2 = 2ab + b2 +a2 -2ab

c2 = b2 +a2

Con ello se demuestra el teorema de Pitágoras que va a resultar básico en todo lo que sigue.

Fig. 1

COLECCIÓN DE PROBLEMAS SAN GACU según el libro de Francisco Javier García Capitán (2003)

Fig. 2. Sea el cuadrado de lado l con sus diagonales. Queremos inscribir la circunferencia que se muestra y debemos calcular su radio r.

Los dos triángulos rectángulos resaltados son iguales porque son iguales sus catetos menores y sus coincidentes hipotenusas.

Aplicando el teorema de Pitágoras a ambos, e igualando hipotenusas, tenemos:

r2 + (l -r) 2 = r2 + (l √2 / 2) 2

El primer miembro para el triángulo inferior y el segundo para el superior

(l -r) 2 = (l √2 / 2) 2

l2 + r2 – 2lr = l2 / 2

l2 / 2 + r2 – 2lr = 0

r2 – 2lr + l2 / 2 = 0

Fig. 2