Fig. 7
¿Por qué mi capricho hipodrómico? Porque como acabo de decir, el camino A2, A1 y vuelta se puede hacer siguiendo el recorrido de la elipse mencionada, o el de la curva hipodrómica. Con este nombre expreso que el recorrido por ella está por debajo (es de menor longitud) que recorriendo la elipse; lo vamos a ver en la Fig. 7 que es una representación diédrica del cono con su alzado y planta, cortado por un plano que contiene a A1 y A2 y es perpendicular al plano vertical.
Con esta Fig. 7 vamos a obtener los parámetros a y b de la elipse en cuestión para hallar con ellos su longitud.
A1, A2 es el eje mayor de la elipse y el punto medio O, su centro, de manera que a = O, A1. Obtengamos ahora su semieje menor b.
Cortamos el cono por un plano horizontal que pasa por O mostrando en planta la circunferencia que produce el corte. Ese plano contendrá el semieje b que, naturalmente, pasa por O.
Así resulta que a = O, A1 = 30,5
b = 21
Aplicando estos valores a la fórmula empleada en geodesia para obtener la longitud de una elipse, será:
L = π [3/2 (a + b) - √(ab)] = 163
Por cierto, exactamente la misma que da la complicada aproximación de Ramanujan. Como se ve, la longitud de la elipse es mayor que la de la hipodroma roja que mide 2 × 77 = 154.
Y no sólo eso: Una hormiga situada en A2 recibió un día la orden inexorable de volver a su sitio de partida después de dar una vuelta completa al cono, recorriendo la menor distancia posible. Como ya se sabe lo rutinarias que son las hormigas lo primero que se le ocurrió fue dar la vuelta a lo largo de la circunferencia que por A2 es perpendicular al eje del cono; recorrió una distancia de 59,27π = 186 que asimismo es mayor que las 154 unidades de la hipodroma (e incluso mayor que los 163 de la elipse de eje mayor A2A1). Con todo merecimiento la reina del hormiguero condenó a trabajos forzados para siempre a la poco imaginativa hormiga (durante el recreo, se la obligaba a estudiar Geometría Descriptiva).
Reitero: Pienso que en este asunto es más importante lo de hipo que lo de orto. Hay quien dice que el prefijo orto se justifica por el hecho de que al camino sobre la superficie curva es superponible un cordón que luego, naturalmente, se puede estirar para formar una línea recta. Esto es cierto tanto para hipodroma, elipse y circunferencia. Lo que pasa es que el cordón de la elipse o el de la circunferencia resulta más largo (y más problemático de obtener), que el de la hipodroma que es, además, de ejecución directa tal como se ha visto.
CODA 1
La hormiga reina que además de justa era muy sabia, levantó el castigo de la hormiga a los pocos días porque se dio cuenta de que si bien su observación había sido justa, no lo había sido en toda su medida. El fallo de la hormiga se había producido por el hecho de ser picudo el cono que permitía la solución hipodrómica. Pero si el cono hubiera sido más chato, si en la Fig. 5 el ángulo A del desarrollo hubiera medido 180º o más, no se hubieran podido trazar las dos perpendiculares rojas: no habría habido hipodroma; la hormiga habría tenido que buscar otra solución.
Esta nueva situación se ve en la Fig. 10 que conserva de la Fig. 5 la generatriz g y la posición de A2 en la generatriz central. Además muestra un ángulo para el desarrollo del cono de A = 270º. Al no haber hipodroma, el punto A1 no existe; sólo disponemos del punto inferior A2, el de partida. ¿Qué alternativas le quedan a la hormiga? Veamos primero cual es el alzado del cono para la Fig. 10; se ve en la Fig. 11 en la que sigue siendo g = 120:
Circunferencia de la base del cono resultante = 2πg × 3 / 4
Radio R´ de la base del cono = (2πg × 3 / 4) / 2π = g × 3 / 4 = 90
Por un procedimiento semejante al de la Fig. 7 he producido en el cono de la Fig. 11 varias secciones por A2 (Fig. 12); no voy a detallarlas; simplemente daré los resultados en la tabla que sigue después.
Fig. 10
Fig. 11
Fig. 12