PARADOJA DEL TRAPECIO

W. LIETZMANN, Trugschlüsse, Leipzig (Teubner), 1923.

Demostración de que la suma de las dos bases de un trapecio es nula: p + q  = 0. Ver figura.

Partamos del trapecio ABCD añadiéndole las cuatro líneas discontinuas.

Como los triángulos ABH y CDH son semejantes, se tiene:

p/q = t/(r + s)                    (1)

También son semejantes los triángulos EAG y FGC, así que

p/q = r/(s + t)                    (2)

De (1) y (2) se deduce que

         p/q = t/(r + s) = r/(s + t)       (3)

Aplicando a (3) la propiedad de que suma (o diferencia) de antecedentes es a suma (o diferencia) de consecuentes como una de las razones dadas, se tendra:

                                                                p/q = (t – r)/(r + s – s – t)   (4)

                                                                  p/q = (t – r)/(r – t) = -1

Como se ve, de (4) se deduce que p = -q, es decir, que p + q = 0: La suma de las bases del trapecio es nula.

SOLUCIÓN

     Hasta la ecuación (3) todo es correcto, pero …

En ella se advierte que su segunda igualdad se satisface para t = r, que es cosa notable y misteriosa en la figura. Ello se justifica al sustituir en (3) r por t que produce la identidad

              t/(t + s) = t/(s + t)

Si esa misma sustitución la hacemos en (4) tendremos

                                                                p/q = (t – t)/(t + s – s – t)  

Es decir

                                                                p/q = 0 / 0

Por tanto,  p/q aparenta tener un valor indeterminado. No es lícito fingir que vale 1 ni -1 a fin de  llegar a una conclusión falsa.