En realidad, las dos copas no sólo se diferencian en el hueco triangular que salta a la vista. Ocurre, además que la altura de la copa de la Fig. 5 es un poco mayor que la de la Fig. 4, y lo mismo ocurre con el ancho de su boca. Las bases y partes bajas de ambas copas, sí son iguales.

Todo ello se pone de manifiesto en la Fig. 6  que muestra una superposición en coincidencia de ambas bases, y una no coincidencia de los dos receptáculos coperos.

Fig. 6

Fig. 7

Debajo de la figura coloreada está la Fig. 5 que deja asomar su trapecio negro que es la clave de todo el asunto. En la Fig. 7 se ve ampliado como BCDE. Calculemos su área.

Mirando a la Fig. 3 tenemos:

AB = lado mayor del romboide + hipotenusa del triángulo pequeño + cateto del triángulo mediano.

Estos tres sumandos son iguales y valen L / 2 (ver Fig. 1):

AB = 3L / 2.

S = área del trapecio rectángulo = DC (DE + CB) / 2 = DC (L + CB) / 2

DC = CB – DE = CB – L

CB = AB / √(2) = (3L / 2√(2)) = (3 / 2√(2)) L = 1,0606602 L

DC = 1,0606602 L – L = 0,0606602 L

S = DC (L + CB) / 2 = 0,0606602 L (L + 1,0606602 L) / 2 = L2  0,0606602  2,0606602 / 2 = 0,0625 L2

Área del triángulo pequeño = (1 / 2)(L / 2)  (L / 4) = L2 / 16 = 0,0625 L2

Es decir, hemos añadido el área del trapecio negro que vale lo mismo que lo que quitamos a la copa al suprimirle el pequeño triángulo superior.

En definitiva, la paradoja ha consistido en tomar para √(2) el valor 1,5: ¡Se parecen tanto, sin que la vista se dé cuenta! Lo que decía mi abuela en apoyo del profesor F. J. Rubia en su obra El cerebro nos engaña: “Las apariencias engañan”.

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Esta otra paradoja no está en el libro. La vemos en la Fig. 8: a la izquierda se recuerda la Fig. 1. En el centro parece haber otro cuadrado como el de la izquierda (con sus mismas 7 piezas en posiciones distintas, pero con la sorpresa de del hueco blanco que no se ve de dónde ha salido). A la derecha se explica: