EL PROBLEMA DEL COCHE CON TRES PUERTAS

Atención, las tres puertas son del problema, no del coche!

Había un programa de entretenimiento con el que Chicho Ibáñez Serrador nos enganchó desde 1972 hasta 2004. Hoy nos resulta de grato recuerdo; tenía por nombre “Un, dos, tres … responda otra vez” y siempre había un gran coche como premio mayor.

No sé cómo estaba planteada la dinámica del juego pero el caso es que el bendito coche siempre quedaba para el final con la intención de conseguir entonces apoteosis con aspavientos en concurrencia y audiencia.

Ante tres puertas cerradas, el concursante tenía que adivinar tras cual de ellas se encontraba el deseado coche. Él no lo sabía, pero el presentador del programa, sí.

Si el concursante acertaba a la primera, se llevaba su coche, y ahí se acababa la historia: aplausos, alegría y entusiasmo general.

Tuvo una probabilidad de acertar de 1/3 y la aprovechó; o más bien le ayudó la suerte: un caso favorable (el de dar con el coche) entre tres posibles (pudo elegir entre tres posibilidades -tres puertas-; fijarse en la diferencia entre probabilidad y posibilidad que es cosa que la gente no suele distinguir).

Estadísticamente esto quiere decir que si repitiéramos 100 veces la misma operación, situando el coche aleatoriamente cada vez en cualquiera de los tres sitios, acertaríamos 33 veces y nos equivocaríamos 66. Y de 1000 veces acertaríamos 333 y marraríamos 666. Pero también quiere decir que en cada ocasión nunca tendríamos la seguridad de acertar.

Esto de colocar aleatoriamente el coche en tres sitios distintos puede tener su complicación, así que vamos a intentar verlo con otro ejemplo más simple: manejando dos en vez de tres posibilidades. Los resultados tienen que ver con lo que se conoce como distribución binomial.

Antes, estos experimentos estadísticos no estaban al alcance de todos, bien por falta de conocimientos o por falta de medios (económicos, fundamentalmente). Hoy, en cambio, cualquiera puede echar al aire, sucesivamente, una moneda de 5 céntimos sin arruinarse. Con ello, además, la práctica nos garantiza la aleatoriedad.

La distribución binomial de la moneda es la más simple porque ofrece la misma probabilidad de obtener cara que cruz: teóricamente, un 50% de las veces saldrá cara y otro 50% saldrá cruz. Todo depende de la cantidad de veces que tiremos al aire la moneda; cuantas más veces lo hagamos, más nos acercaremos al 50%. Usted mismo puede comprobarlo; es muy entretenido.

Otra forma de distribución binomial no tan simple puede ser ésta: Estamos fabricando monedas y sabemos que algunas (poquísimas) son defectuosas. Tomamos una muestra para inspeccionar. El resultado de la inspección es que la moneda o será buena o será falsa (muy parecido a lo de antes; será cara o será cruz).

Lo que pasa ahora es que la probabilidad de que la moneda sea buena es muchísimo mayor que la de que la moneda sea falsa (apañados estaríamos si no fuera así). Esto conduce a una distribución binomial con fórmulas más complicadas. Nos vamos a olvidar de lo binomial que sólo tenía un interés ilustrativo, y vamos a volver al coche y a las tres puertas porque, realmente el concurso no es exactamente como se planteaba  al principio.

Esta vez el concursante se decidió por una. A continuación el presentador, que sabe donde está el coche, abre una de las otras dos que aparecerá vacía y, propone al concursante la posibilidad de cambiar su decisión compensándole con una cierta ventaja extra.

Esa posibilidad de cambio consiste en que abandone la puerta que señaló al principio para elegir la otra puerta que permanece cerrada.

Y la pregunta fuera del concurso, y dirigida al lector del presente texto, es:

En qué caso tiene el concursante mayor probabilidad de ganar el coche: cambiando su decisión o no cambiándola.

La respuesta es que, cambiando de decisión en este caso de tres puertas, tiene más probabilidad de éxito:

el doble.

Veamos la explicación. Si no cambia su decisión, conserva la probabilidad que tenía de acertar de 1/3 (un caso favorable -dar con el coche- entre tres posibles -las tres puertas de elección-).

Al cambiar su decisión ocurre que sobre la primera puerta que señaló mantiene la probabilidad de acierto que tenía de 1/3. Del conjunto de las tres puertas tiene probabilidad del 100% de acertar (tiene la certeza de que en ese conjunto de las tres está el coche: probabilidad unitaria, de 1).

Como la puerta abierta indica para ella probabilidad cero de contener el coche, resulta que para la otra puerta cerrada queda una probabilidad de acierto de la diferencia, es decir: 1 – 1/3 =  2/3. Como los 2/3 de ahora son el doble que 1/3 de antes, la probabilidad de acertar con el coche si cambia su decisión es doble que la que conserva si no cambia.

Que duplique su probabilidad de éxito no quiere decir que si cambia vaya a acertar en una ocasión concreta. Quiere decir que si, por ejemplo, se repitiera la prueba 100 veces, cambiando, por término medio acertaría con el coche 66 y lo perdería 33.

Otra forma de verlo:

El escenario tiene tres posibilidades:

X, que el coche esté tras la puerta 1.

Y, que esté tras la puerta 2.

Z, que esté detrás de la 3.

Tras todas las otras puertas reinará el vacío en los tres escenarios.

Si el concursante eligió la puerta 1 y el escenario es X, no le conviene cambiar. Pero esa situación tiene una probabilidad de darse de 1/3 [X/(X+Y+Z) -convertir las letras en cantidades-].

Si el escenario es Y o Z y eligió también la puerta 1, le conviene cambiar porque es seguro que tras la puerta que el presentador deja cerrada, está el coche: hay una probabilidad de 2/3 [(Y+Z)/(X+Y+Z)] de que eso ocurra.

Esto mismo que se ha planteado para la elección de la puerta 1 es válido si la elección se hizo sobre cualquiera de las otras dos puertas: Cambiando siempre tiene una probabilidad de éxito de 2/3 frente a la probabilidad de 1/3 si no cambia.

Chicho era un mago del suspense y de la sicología. Cuando compensa al concursante por cambiar lo que consigue es desconcertarle:

¿Le está compensando realmente porque le induce a pérdida?

¿La compensación será un estímulo para que el concursante ahorre dinero al programa?

Esta sección del programa estaba inspirada en otro que en los años 60 hizo furor en los EE.UU con el nombre de Let´s make a deal que dirigía un presentador de nombre Monty Hall.

El nombre de este presentador es el que se ha dado al famoso problema estadístico que hemos descrito.