RULETA RUSA

Se trata de un juego de cálculo suicida de probabilidades planteado en Internet por el matemático Adrián Paenza. Como yo necesito toda la claridad del mundo en el enunciado de un problema para intentar resolverlo, me voy a permitir plantearlo de acuerdo con mis necesidades por si alguien tiene limitaciones parecidas a las mías. Además, resulta que yo soy de Artillería Antiaérea (Regimiento nº 75 de AAA, Villanubla, Valladolid), y no entiendo de armas cortas.

Sucesivamente, dos jugadores se disparan en la sien con un revólver cargado; el juego termina cuando muere uno de ellos.

El tambor del revólver tiene 6 huecos de los que 3 consecutivos están vacíos y los otros 3 están cargados de bala (ver figura).

Para empezar dando aleatoriedad al macabro juego se gira el tambor al azar. Cuando se para ya no se repite esa maniobra en todo lo que dure el juego. El tambor girará, como es habitual,  solamente un paso después de que cada jugador actuante haya accionado el gatillo. Este giro es según el de las agujas del reloj.

Al pararse el tambor después del giro aleatorio, quedará en una de las 6 únicas posiciones posibles que se muestran en la figura: las A, B, C, D, E, F. Los 3 huecos cargados se representan con una X; los otros 3 están vacíos. La flecha indica el cañón del arma y, por consiguiente, su coincidencia con un determinado hueco del tambor.

La pregunta del problema es: A un jugador, ¿qué le conviene más, ser el primero en disparar, o ser el segundo?

Inicio del juego.

Cuando se para el tambor después de su giro azaroso, quedará fijo en una cualquiera de las 6 configuraciones de la figura. El primer jugador toma el revólver y se apunta en la sien. Como se ve, entre las 6 configuraciones posibles hay 3 en las que el cañón está enfrentado a agujeros descargados ( las B, C, D) y otras tres (A, E, F) a agujeros con bala.

Llamemos Y al jugador que disparará primero al comenzar el juego; Z al que dispare en segundo lugar. El primer jugador tiene, pues, la misma probabilidad de morir que de sobrevivir, 0,5: 3 casos favorables sobre 6 posibles.

Si el primer jugador se enfrenta a una cualquiera de las configuraciones A, E, F morirá; ahí habrá acabado el juego y el segundo jugador seguirá vivo.

Pero supongamos que Y sobrevive y pasa el arma a Z. Si ocurre tal es porque antes de disparar el primer jugador Y, éste estaba ante una de  las configuraciones B, C, D. Después de accionar el gatillo y sobrevivir, esas configuraciones pasan a ser únicamente las C, D, E que son las que enfrentará el segundo jugador Z; las otras tres, B, C, D quedan descartadas gracias a la supervivencia de Y. Recordar lo dicho antes: el tambor girará solamente un paso después de que cada jugador actuante haya accionado el gatillo. Este giro es según el de las agujas del reloj.

¿Qué probabilidad de supervivencia se deduce para el segundo jugador Z de acuerdo con el conjunto de las configuraciones C, D, E?

Como se ve, hay 2 casos favorables (C y D; el tercero, E, es desfavorable) frente a los 3 únicos casos posibles (los C, D, E). La probabilidad de supervivencia es, pues, de 2 / 3 = 0,66 > 0,5.

Está claro que es preferible ser segundo que primer jugador (sobre todo, si el primero palma). Esto es cierto si se han producido los dos primeros disparos sin efecto de muerte. Pero en ese caso el juego debe continuar.

Veamos qué puede ocurrir a continuación. Para ello vamos a desplegar las 6 posibilidades A, B, C, D, E, F

según la matriz que emplea mi amigo Mariano Nieto.

El paso de una posibilidad a la siguiente se corresponde con el salto que se produce en el tambor después de cada disparo.

Se ve que no puede haber más posibilidades  que las seis A-F. De producirse un tiro después de F, se volvería a la posibilidad A.

Orden de jugadores. Ya hemos llamado Y al jugador que empieza el juego, el primero que se dispara. Z es el otro.

En la columna ✝ depositamos el cuerpo del jugador que muere.

COMIENZA EL JUEGO COMPLETO

Como ya hemos dicho que las seis posibilidades son equiprobables podríamos empezar el juego suponiendo que al primer jugador se le presenta cualquiera de las seis posibilidades: daría lo mismo partir de otra distinta de la primera (la A): el contenido de la columna  ✝ no varía.

Así pues, para seguir desde el principio el orden de la tabla supondremos que a Y se le ha presentado la posibilidad A. El resultado es que Y se encuentra, para A, en su primera columna, una X: y muere. Se acaba el juego; en la columna de la cruz, para A, ponemos el cadáver de Y.

Veamos si con la posibilidad B se alargaría el juego. También empieza Y que se salva: ahora se encuentra en su columna, y para B, una O. Como seguimos en la posibilidad B, Y pasa el revólver a Z que se encuentra en su columna, para B, con una X. Z muere y ponemos su cuerpo en la segunda fila de la columna cruz.

Pensemos ahora que es la posibilidad C la que se ofrece a Y en su primer tiro: se salva y pasa el revólver a Z que también se salva, pasándoselo luego a Y que muere. Ponemos el cadáver de Y bajo la cruz. Todo esto ha ocurrido en la línea de la posibilidad C.

Imaginemos que es la posibilidad D (4ª fila de la matriz) la que se brinda a Y para su primer disparo. Como siempre, empieza Y que se salva; sigue Z que se salva también; luego también se salva Y que por fin pasa el revólver a Z que muere; ponemos a Z bajo la cruz.

Exploremos la posibilidad E: Y muere a la primera, y su cadáver va bajo la cruz. Se acabó el juego.

Si se tratara de la última posibilidad, la F, la breve secuencia también lleva a Y bajo la cruz a causa de su primer y único disparo.

Observando la columna ✝ después de explorar las 6 posibilidades vemos que la secuencia en orden descendente YZYZYY indica que para 6 casos posibles hay 4 sucesos de muerte para Y y 2 para Z. Así pues Y, el primero en actuar, tiene una probabilidad de morir en el juego de 4/6 = 2/3 = 0,666, mientras que Y la tiene de 2/6 = 1/3 = 0,333.

Resulta pues que, teniendo en cuenta todas las posibilidades, el que empieza a disparar (Y en nuestro caso) tiene una probabilidad doble de morir que el otro.

De lo que hay certeza (la unidad) es de que ha de morir Y o Z (0,666 + 0,333 = 1).

Como las probabilidades de muerte y supervivencia son complementarias a la unidad, también podemos decir que la probabilidad de supervivencia del segundo (Z) es doble que la del primero (Y).

Ahora que hemos clarificado la secuencia completa, podemos hacer el ejercicio repitiéndola pero empezando por cualquier otra posibilidad distinta de la A. Se verá que el resultado en la columna de la cruz es el mismo que muestra la matriz.

Otra cosa clara es que, como mucho, no se producirán nunca más de 4 disparos: 3 en vacío y uno letal.