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ProbRobinsones
Robinson (R) y Crusoe (C) corren en un circuito cerrado. Empiezan a correr en el mismo instante y desde el mismo punto pero en sentidos contrarios.
Cuando Robinson completa 11 vueltas, Crusoe, en el mismo tiempo ha completado 7.
¿Cuántas veces se han cruzado?
SOLUCIÓN
![](images/probrobinsones/robinson.jpeg)
La figura muestra el circuito cerrado como una circunferencia en la que desde O empiezan a correr R (el más rápido, en sentido horario) y C (el más lento, en sentido antihorario).
La circunferencia está dividida en 7 + 11 = 18 partes iguales. La proporción de velocidades 11 / 7 del enunciado está representada como que R recorre 11 partes mientras C recorre 7. Así, partiendo simultáneamente de O, C y R se encontrarán por primera vez en 1.
Desde ese primer punto de cruce se hace análogamente a lo hecho en O, y se obtiene 2, el segundo punto de cruce. Siguiendo análogamente, se obtienen los 18 puntos de cruce: Se ve que, al final, coinciden 18 y O.
Veamos ahora la secuencia de cruces y vueltas que se produce:
Para C:
0 1 2 / 3 4 5 / 6 7 / 8 9 10 / 11 12 / 13 14 15 / 16 17 18 /
Para R:
0 1 / 2 3 / 4 / 5 6 / 7 8 / 9 / 10 11 / 12 13 / 14 / 15 16 / 17 18 /
Las marcas rojas las pone un observador situado en O cada vez que un corredor pasa por delante de él. Tal ocurrió cuando C fue del cruce 10 al 11. En cambio, los recorridos del cruce 8 al 9 y de éste al 10 los hizo C dentro de la misma vuelta.
El resultado es que C y R se cruzaron 18 veces . Y que C dio 7 vueltas (espacios entre barras rojas) en el mismo tiempo en que R dio 11.
Observando la figura se ve que en ella hay superpuestos dos polígonos estrellados asociados, respectivamente, a C y a R. Los lados de esos polígonos son las cuerdas subtendidas por los arcos que recorren C y R entre sus puntos de cruce.
La dualidad que define un polígono estrellado es (n, p) siendo n y p primos entre sí:
-n es el número de lados del polígono estrellado, los mismos que los del polígono convexo a él asociado.
-p es el paso, es decir, el número de lados del polígono convexo que subtiende un lado del estrellado, mirados siempre del mismo lado según se avanza en la construcción del estrellado; p es también la cantidad de vueltas que han de darse para dar fin a dicha construcción.
Veamos el polígono estrellado C. En él es n = 18 (los 18 cruces); p = 7 (ambos dígitos, primos entre sí); C dio 7 vueltas.
En el polígono estrellado R también es n = 18 (los 18 cruces); p = 11 (ambos dígitos, primos entre sí); R dio 11 vueltas.