ProbRobinsones

Robinson (R) y Crusoe (C) corren en un circuito cerrado. Empiezan a correr en el mismo instante y desde el mismo punto pero en sentidos contrarios.

Cuando Robinson completa 11 vueltas, Crusoe, en el mismo tiempo ha completado 7.

¿Cuántas veces se han cruzado?

SOLUCIÓN

La figura muestra el circuito cerrado como una circunferencia en la que desde O empiezan a correr R (el más rápido, en sentido horario) y C (el más lento, en sentido antihorario).

La circunferencia está dividida en 7 + 11 = 18 partes iguales. La proporción de velocidades 11 / 7 del enunciado está representada como que R recorre 11 partes mientras C recorre 7. Así, partiendo simultáneamente de O, C y R se encontrarán por primera vez en 1.

Desde ese primer punto de cruce se hace análogamente a lo hecho en O, y se obtiene 2, el segundo punto de cruce. Siguiendo análogamente, se obtienen los 18 puntos de cruce: Se ve que, al final,  coinciden 18 y O.

Veamos ahora la secuencia de cruces y vueltas que se produce:

Para C:

0      1      2   /   3      4      5   /   6      7   /   8      9      10   /   11      12   /   13      14      15   /   16      17      18   /

Para R:

0      1  /    2      3   /   4   /   5      6   /   7      8   /   9  /    10      11   /   12      13   /   14   /   15      16   /   17      18   /

Las marcas rojas las pone un observador situado en O cada vez que un corredor pasa por delante de él. Tal ocurrió cuando C fue del cruce 10 al 11. En cambio, los recorridos del cruce 8 al 9 y de éste al 10 los  hizo C dentro de la misma vuelta.

El resultado es que C y R se cruzaron 18 veces . Y que C dio 7 vueltas (espacios entre barras rojas) en el mismo tiempo en que R dio 11.

Observando la figura se ve que en ella hay superpuestos dos polígonos estrellados asociados, respectivamente, a C y a R. Los lados de esos polígonos son las cuerdas subtendidas por los arcos que recorren C y R entre sus puntos de cruce.

La dualidad que define un polígono estrellado es (n, p) siendo n y p primos entre sí:

-n es el número de lados del polígono estrellado, los mismos que los del polígono convexo a él asociado.

-p es el paso, es decir, el número de lados del polígono convexo que subtiende un lado del estrellado, mirados siempre del mismo lado según se avanza en la construcción del estrellado; p es también la cantidad de vueltas que han de darse para dar fin a dicha construcción.

Veamos el polígono estrellado C. En él es n = 18 (los 18 cruces); p = 7 (ambos dígitos, primos entre sí); C dio 7 vueltas.

En el polígono estrellado R también es n = 18 (los 18 cruces); p = 11 (ambos dígitos, primos entre sí); R dio 11 vueltas.