PUNTO MEDIO
Dado un segmento AB y una recta paralela a él, obtener el punto medio del segmento disponiendo solamente de una regla.
1.- Si la regla garantiza el paralelismo de sus cantos largos y es más estrecha que el segmento, no hace falta que nos den una paralela a él.
La Fig. 1 muestra cómo construir un rombo con AB como diagonal. La otra será perpendicular a la primera precisamente en el punto medio de AB.
Fig. 1
Fig. 2
2.- La regla sólo ofrece un canto recto.
Partamos del segmento AB. En su dirección situemos un punto cualquiera D y fuera del segmento, el punto arbitrario V. Luego una recta cualquiera, oblicua, por D (Fig. 2).
Con estos datos se completa dicha Fig. 2 en la que se produce el punto C.
Así se ha conseguido la cuarteta armónica ACBD en la que los segmentos correspondientes producen la igualdad
La Fig. 2 evidencia que C no es el punto medio de AB.
De serlo, sería AC = BC y por tanto AD = BD.
¿Cuándo se cumplirá esta última igualdad?
Cuando D sea el punto del infinito de la dirección AB. Entonces, la recta oblicua que trazamos antes por D, sería paralela al segmento AB.
Repitamos a continuación la Fig. 2 pero convirtiendo la oblicua por D en una paralela a AB (la que se nos ofrecía como dato, Fig. 3). Ahora sí se ha obtenido C como punto medio de AB: Este punto medio de AB es el conjugado armónico del punto del infinito de la dirección AB.
Fig. 3
Otra forma de mirar a la Fig.3
Por el teorema de Tales, los triángulos VON y VCB son semejantes, así como los VOM y VCA. Por tanto, podemos escribir
VO / VC = ON /CB VO / VC = OM / CA
Es decir,
ON /CB = OM / CA
Igualdad que equivale a
ON /CB = OM / CA = (ON + OM) / (CB + CA) = MN /AB = (MN / 2) /(AB / 2)
Esta igualdad se satisface para
ON = OM = MN / 2
Y para
CB = CA = AB / 2
Es decir, al ser O y C, respectivamente, los puntos medios de MN y AB.
3.- Podría pensarse que la solución al problema está en aplicar el teorema que dice: “En un cuadrilátero completo los puntos medios de sus diagonales están en línea recta”. Veamos.
La Fig. 4 es una extracción de la 2. En ella se aprecia el cuadrilátero completo que resulta: tiene sus cuatro lados (en azul) y sus tres diagonales (en rojo). Los tres puntos medios de éstas se ven alineadas de acuerdo con el teorema enunciado, y formando (en verde) la recta de Newton – Gauss.
Por tanto, bastaría con unir los puntos medios de las dos diagonales oblicuas con una recta (la verde) que cortaría a la otra diagonal, la horizontal, en su punto medio, el buscado.
La objeción es que así incurrimos en una petición de principio: para hallar el punto medio de un segmento, tenemos que obtener antes los puntos medios de otros dos segmentos.
Fig. 4
4.- La solución más simple, precisa y elegante es la papirofléctica que no necesita ni regla ni recta paralela al segmento (Fig. 5). Tiene estas fases:
1-Plegamiento de un semiplano sobre el otro con AB como línea de plegado.
2-Plegar A sobre B. Se obtiene la mediatriz de AB.
3-La intersección de la mediatriz con el segmento AB es el punto medio de éste, P.
Fig. 5