QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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PROBLEMAS FLUVIALES

UNO

Los pueblos A y B están separados por un río. Sobre éste se quiere construir un puente MN lo más corto posible, de manera que las distancias AM y BN sean iguales. Se quiere además, que el recorrido final de A a B sea mínimo.


El puente más corto posible es el perpendicular al eje del río, siendo MN el ancho de éste. Evidentemente, la distancia más corta entre A y B es la recta que los une, pero esto supone un puente oblicuo más largo que MN y eso no conviene a ninguno de los pueblos que han de pagarlo ya que el puente es la pieza más cara de la obra.


Obténganse (Fig. 1) A´ y B´ moviendo A y B, respectivamente, unas distancias iguales a la mitad de MN. Donde la mediatriz de A´B´ corte al eje del río determinará la posición del puente. El camino de A a B será entonces AMNB siendo AM = BN.

Fig. 1

Veamos si además de ser AM = NB, el recorrido AMNB es mínimo. Para ello (Fig.2) desplacemos el puente MN paralelamente a sí mismo hacia la izquierda, conservando el trazado primitivo de AM y NB. Se han formado los dos triángulos obtusángulos cuyas bases se hacen coincidir en la Fig. 3.


En esta Fig.3 se ha trazado AB (B es arrastrado con el triángulo obtusángulo inferior) para evidenciar que la suma de los segmentos de acceso al puente en el nuevo supuesto es mayor que en el supuesto de la Fig. 1: en este último caso el punto de concurrencia de esos segmentos de acceso está más próximo a AB que en el segundo (puente situado más a la izquierda). Después habrá que añadir la longitud del puente que es la misma en ambos supuestos y que por tanto no afecta al recorrido total.

Fig. 2

Fig. 3

Todo apunta, pues, a que la posición MN de Fig. 1 decidida para el puente atiende a las dos exigencias: Distancias iguales de A y B al puente y recorrido mínimo para AMNB. Pero esto último no es cierto.


El que hemos llamado recorrido mínimo se ha probado moviendo el puente hacia la izquierda, es decir hacia el lado en que uno de los pueblos (el A) está más alejado del río. De haber movido el puente hacia la derecha se habría visto que el recorrido total disminuía hasta llegar a un mínimo. Habrá de buscarse otra alternativa que es la representada en la Fig. 4.


En ésta se han ensayado dos alternativas que conducen al mismo resultado: mover el puente hacia la derecha de la posición MN de la Fig. 1. En un caso se ha desplazado B a B´ y en el otro A a A´. En ambas el recorrido mínimo es AB´ = A´B (a añadir en ambos casos la longitud del puente MN).


Lo que demuestra todo esto es que el doble requerimiento del planteamiento es incompatible con una solución única: La Fig. 1 atiende a la primera exigencia y la 4 a la segunda.

Fig. 4

Pgs. 1    2    3     

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