VARIANTE
Sea ahora el caso de que el río lleva una corriente de 1 Km / hora en sentido contrario a la marcha del cazador. El resto del planteamiento no se altera. La ingeniosa y sencilla solución consiste en suponer que entonces el cazador marcha a una velocidad que es suma de la suya y la del agua y que, en esas condiciones, el agua queda quieta. El cazador marchará a 1 + 1 = 2 Km / h y el perro, a la misma velocidad que antes, de 3 Km / h.
La Fig 3 muestra la nueva situación. Comparando ésta con la Fig.1 se ve que en ambas los tramos del perro son de la misma longitud (la correspondiente a su velocidad de 3 Km / h), mientras que los tramos del cazador son el doble de largos en la 3 que en la 1 (la longitud correspondiente a su nueva velocidad de 2 Km / h). La consecuencia es que el cazador anda un poquito más de 6 tramos (de los suyos –de 2 Km / h-) en Fig. 3, mientras que en la Fig. 1 es alcanzado por el perro en menos de 4 de sus tramos cortos.
Es decir, si el perro nada contracorriente, el cazador ha andado unos 1.200 metros cuando le alcanza su perro.
![](images/probperro3/shape_pic-312.png)
![](images/probperro3/shape_pic-313.png)
La justificación mediante calculo infinitesimal se ve en la Fig. 4 en la que:
![](images/probperro3/shape_pic-315.png)
PKL y SRN son semejantes.
PL = 3dt
KL = dz
NS = 2 dt
NR = 2/3 dz
LN = a
HN = x
MS = x´
PN = y
LR = y´
![](images/probperro3/shape_pic-316.png)
Los vectores x (x´) e y (y´) apuntan al encuentro, respectivamente, del cazador y el perro; vectores cuyos diferenciales tienden a cero precisamente en ese encuentro.
Así tendremos:
dz + x´= x + 2dt
dx = x´- x = 2dt – dz
dz = 2 dt - dx
dy = y´ - y = a + 2/3 dz –(a + 3 dt)
dy = 2/3 dz – 3 dt
eliminando dz queda:
dy = 2/ 3 (2 dt – dx) – 3 dt
dy + 2 /3 dx = - 5 / 3 dt
Integrando esta ecuación diferencial, tendremos:
y+ k + 2 /3 x = - 5 /3 t
La constante de integración k, para y, se deduce del hecho de que en la situación inicial, es x = 0; y = 1 (un kilómetro de anchura del río; recordar que las velocidades vienen expresadas en Km /h); t = 0. Aplicando estas condiciones a la ecuación de arriba queda:
1 + k + 0 = 0
k = - 1
Como x e y valen cero cuando se produce el encuentro, será:
- 1 = - 5 /3 t
t = 3/5 de hora.
El encuentro se produce, pues, a 3/5 de hora desde el inicio; como el cazador marchaba en este caso (el que tiene en cuenta la corriente del río) a 2 Km / h, resulta que ha recorrido 6 / 5 de Kilómtero, es decir, 1,2 Km. (como en la Fig. 3).
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