ProbPappus

(Pappus de Alejandría, 340 d. C)

Un cabo dispone de 9 soldados que debe colocar formando 10 alineaciones de a 3.

En el patio del cuartel, el cabo ya había colocado a los 9 efectivos disponibles como le había ordenado el sargento: a distancia social generosa, con mascarilla, y de forma que cada tres estaban alineados formando dos rectas convergentes en la distancia, más otras 7 alineaciones en el interior de las otras dos..

Sus nombres eran A, B C, D, E, F, U, V y W. Se correspondían con sus posiciones según la Fig. 1, formando un hexágono cruzado, cerrado, de lados AB, BC, CD, DE, EF y FA. Para que lo vieran más claro, el brigada les había explicado que al hexágono cruzado le pasa como a uno irregular convexo inscrito en una cónica (en una circunferencia, según la Fig. 2): sus lados opuestos son también: AB / DE; BC / EF; CD / FA. La diferencia es que los vértices del hexágono cruzado están sobre dos rectas convergentes, mientras que los del convexo están sobre la circunferencia.

Fig. 1

Fig. 2

Lo que tienen en común las Figs. 1 y 2 es que las intersecciones de lados opuestos están en ambos casos sobre las rectas discontinuas.

Hasta aquí ya están colocados los 9 soldados produciendo las 9 alineaciones de la Fig. 1:

AUB; BWC; CVD; DUE; EWF; FVA y UVW (más las AEC y DBF).

Tan contento, el cabo va a darle la novedad al teniente. Éste, mira con detalle la situación y advierte al cabo que no, que lo que el capitán ha mandado es que resulten 10 alineaciones.

SOLUCIÓN

El cabo no se viene abajo gracias a su acendrado espíritu militar y se dispone a pensar en equipo con sus 9 hombres para encontrar una nueva alineación que se pueda añadir a las 9 descubiertas.

Y dan con la solución (Fig. 3). Consiste en que E se desplace a lo largo de la alineación AC hasta un punto tal que, además, quede alineado con VB. Así aparece la nueva alineación EVB que pasa por el mismo V de la Fig. 1 de forma que la nueva alineación UVW es la antigua girada en torno a V. La novísima alineación EB no es ningún lado del hexágono, sino una diagonal, como puede comprobarse en la Fig. 2.

Toda la cadena de mando se quedó satisfecha: 9 hombres y 10 alineaciones.