ProbMorley

El problema consiste en demostrar el Teorema de Morley que se enuncia como sigue:

“En un triángulo cualquiera (el rojo de la Fig. 1), los puntos de intersección entre trisectrices adyacentes definen siempre un triángulo equilátero”.

Este famoso y singular teorema llegó a conocerse como “el milagro de Morley” por su ingeniosidad; Morley  lo planteó inicialmente como una conjetura, tardó mucho en demostrarse y las demostraciones conocidas son realmente complicadas.

A mí me lo dio a conocer en  2002 mi amigo y Académico de la de Ciencias Darío Maravall, Lo he conservado cajonizado hasta ahora que acabo de dedicarme al teorema de Napoleón, dada la cierta semejanza que los relaciona.

Presento mi demostración que veo tan elemental que no llego a creerme que sea buena. Aunque pienso que lo es.

La Fig. 1 representa al triángulo rojo ABC en el que se han trazado las dos trisectrices de cada ángulo. La intersección de cada dos de ellas adyacentes a cada lado es el vértice del triángulo equilátero que aparece en el centro.

Fig. 1

Fig. 2

Para demostrarlo parto (Fig. 2) de suponer que el triángulo del centro es, realmente equilátero, es decir, de admitir que cada uno de sus áull ‡ngulos vale 60º. Operando desde ahí, veremos a qué consecuencia se llega.

La Fig. 2 es una ampliación parcial de la 1 en la que se muestra el valor de los ángulos de todos los triángulos que entran en juego. Obsérvese que designo como B a la cantidad de grados que tiene la tercera parte del ángulo en B del triángulo rojo. Análogamente ocurre con los A y C.

Se muestran asimismo los 60º que asumimos de partida, para el triángulo central. Con toda esta información los únicos ángulos que quedan como desconocidos son los R, S y T.

Podemos escribir tres ecuaciones conteniendo esas tres incógnitas R, S, T, igualando a 360º la suma de ángulos que concurren en cada vértice del triángulo equilátero: