QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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ProbMascheroni


En la Fig. 1, los 12 segmentos AB, BC, CA, CD, DB, BE, BH, HG, ED, BG, AF Y FG tienen la misma longitud.


Demostrar que las rectas BF y BK (en rojo) forman un ángulo recto.


                                                                                                              SOLUCIÓN


La Fig.2 es una extracción de la 1 con el añadido de una recta cualquiera BF que forma un ángulo x con BC.


La Fig. 3 es la 2 en la que BF es cortada por el arco CF; F es movido de sitio. Además, se añade AF y el simétrico de BAF respecto de BF.


Así obtenemos el rombo estrecho ABGF cuyas diagonales BF y AG son perpendiculares.

Fig. 1

Fig. 3

Fig. 2

El semiángulo mayor ABF del rombo estrecho mide 60 + x.


De la Fig. 3 se pasa a la 4 añadiendo el ángulo de 60º BHG sobre BG; con ello se obtiene el triángulo equilátero BHG. Así, la Fig. 4 resulta prácticamente idéntica a la 1, y tendremos:


EBG = 180 – 2 (60 + x)


Si FBK = 90º, BK será la bisectriz de EBG porque sus dos mitades serán iguales a BAG (el semiángulo menor del rombo estrecho). La mitad izquierda, igual al semiángulo en A, y la derecha, igual al semiángulo en G. Entonces será:


FBK = (EBG / 2) + GBF = 90 – (60 + x) + (60 + x) = 90


Con lo que se confirma l.q.q.d.