ProbMacedonia
La falange macedónica medía una centiparasanga (L = 1 cp) entre la primera y la última fila (es un decir). El de la esquina derecha de esta última fila tenía un pinganillo por el que Alejandro Magno daba órdenes a la falange. P (el apinganillao) recibía una orden y salía corriendo a velocidad V1 a contárselo al de la esquina derecha de la primera fila que marchaba, como toda la falange en bloque, a velocidad V.
Una vez transmitida la orden, P salía corriendo a la misma velocidad V1 y a contrapelo de la falange, para ocupar su puesto en la esquina de la última fila.
Jenofonte, que luego lo contaba todo, quería saber cuántas cp recorría P en cada maniobra de ida y vuelta.
Hagamos c = V1 / V ; naturalmente, será c > 1
La Fig. 1 muestra la situación de ida de P, y la 2, la de su vuelta.
Según la Fig. 1, P tarda en hacer su recorrido de ida L + X el mismo tiempo que la falange en avanzar X.
Será pues:
(L + X) / V1 = X / V
que equivale a
(L + X) / c = X
X = L / (c – 1)
A la vuelta (Fig. 2), P tarda en recorrer Y para colocarse en su sitio de atrás, lo mismo que la falange en avanzar L – Y. Con lo cual tenemos:
(Y / V1) = (L – Y) / V
Y / c = L – Y
Y = cL / (1 + c)
Como el recorrido total de P es L + X + Y, será:
L + X + Y = L + L / (c – 1) + cL / (1 + c)
R = recorrido total de P = 2L [c2 / (c2 – 1)]
Después de hacer los cálculos, el del pinganillo se entera de que no es eso tan general lo que quería Jenofonte. Él necesitaba, concretamente, el recorrido completo de P cuando éste termina precisamente en la línea aa (Fig. 3).
En esta figura se ve que son iguales los valores de X, Y, siendo éstos los que se corresponden con los del mismo nombre en las figs. 1 y 2.
Igualando X e Y del cálculo anterior y reduciendo a la unidad, tenemos:
1 / (c – 1) = c / (1 + c)
que nos da
c2 – 2c – 1 = 0
descartando la solución negativa de c, queda:
c = 1 + √2
valor que llevado a las expresiones de X ó Y da para ellas 0,7071 cp.
El recorrido total R será, según se ve en la Fig. 3:
R = 1 + 2 × 0,7071 = 2,4142 cp
Que también se puede comprobar en la expresión de R dada más arriba en función de c.
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Si P hubiera sabido al principio lo que realmente quería Jenofonte, podría haber resuelto la cosa de manera más simple aún, visto que X = Y, reduciendo a la unidad e igualando los tiempos empleados en cada caso por P y por la falange, se tendría:
A la ida de P
A la vuelta de P
Dividiendo estas dos expresiones:
R = 1 + 2X =
= 2,4142 cp