ProbMacedonia
La falange macedónica medía una centiparasanga (L = 1 cp) entre la primera y la última fila (es un decir). El de la esquina derecha de esta última fila tenía un pinganillo por el que Alejandro Magno daba órdenes a la falange. P (el apinganillao) recibía una orden y salía corriendo a velocidad V1 a contárselo al de la esquina derecha de la primera fila que marchaba, como toda la falange en bloque, a velocidad V.
Una vez transmitida la orden, P salía corriendo a la misma velocidad V1 y a contrapelo de la falange, para ocupar su puesto en la esquina de la última fila.
Jenofonte, que luego lo contaba todo, quería saber cuántas cp recorría P en cada maniobra de ida y vuelta.
Hagamos c = V1 / V ; naturalmente, será c > 1
La Fig. 1 muestra la situación de ida de P, y la 2, la de su vuelta.
![](images/probmacedonia/shape_pic-415.png)
Según la Fig. 1, P tarda en hacer su recorrido de ida L + X el mismo tiempo que la falange en avanzar X.
Será pues:
(L + X) / V1 = X / V
que equivale a
(L + X) / c = X
X = L / (c – 1)
A la vuelta (Fig. 2), P tarda en recorrer Y para colocarse en su sitio de atrás, lo mismo que la falange en avanzar L – Y. Con lo cual tenemos:
(Y / V1) = (L – Y) / V
Y / c = L – Y
Y = cL / (1 + c)
Como el recorrido total de P es L + X + Y, será:
L + X + Y = L + L / (c – 1) + cL / (1 + c)
R = recorrido total de P = 2L [c2 / (c2 – 1)]
Después de hacer los cálculos, el del pinganillo se entera de que no es eso tan general lo que quería Jenofonte. Él necesitaba, concretamente, el recorrido completo de P cuando éste termina precisamente en la línea aa (Fig. 3).
![](images/probmacedonia/shape_pic-416.png)
En esta figura se ve que son iguales los valores de X, Y, siendo éstos los que se corresponden con los del mismo nombre en las figs. 1 y 2.
Igualando X e Y del cálculo anterior y reduciendo a la unidad, tenemos:
1 / (c – 1) = c / (1 + c)
que nos da
c2 – 2c – 1 = 0
descartando la solución negativa de c, queda:
c = 1 + √2
valor que llevado a las expresiones de X ó Y da para ellas 0,7071 cp.
El recorrido total R será, según se ve en la Fig. 3:
R = 1 + 2 × 0,7071 = 2,4142 cp
Que también se puede comprobar en la expresión de R dada más arriba en función de c.
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Si P hubiera sabido al principio lo que realmente quería Jenofonte, podría haber resuelto la cosa de manera más simple aún, visto que X = Y, reduciendo a la unidad e igualando los tiempos empleados en cada caso por P y por la falange, se tendría:
A la ida de P
A la vuelta de P
Dividiendo estas dos expresiones:
![](images/probmacedonia/shape_pic-417.png)
![](images/probmacedonia/shape_pic-418.png)
![](images/probmacedonia/shape_pic-419.png)
![](images/probmacedonia/shape_pic-420.png)
![](images/probmacedonia/shape_pic-421.png)
![](images/probmacedonia/shape_pic-422.png)
R = 1 + 2X =
= 2,4142 cp