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ProbKirchoff

EL CUBO RESISTIVO

La fig. 1 representa un cubo hecho de alambre que tiene una resistencia eléctrica de 1 ohmio por metro lineal, y cuyas aristas tienen 1 metro de longitud.

A través de él se hace pasar una corriente i que entra por B y sale por A. La pregunta es: ¿Cuál es la resistencia equivalente a la del cubo, RBA, entre B y A?


SOLUCIÓN

En la Fig. 2 se ve el cubo de la 1 aplastado y con su cara superior algo ampliada; es irrelevante que el conductor de salida de la corriente por A tenga en ambas figuras sentidos distintos. Con ello he conseguido un esquema eléctrico plano que facilita la aplicación de las leyes de Kirchoff.

Es claro que en un circuito así, si los 12 conductores tuvieran resistencias distintas, tendríamos que plantearnos un sistema de 12 ecuaciones con 12 incógnitas, de enorme complicación. Como el planteamiento está muy simplificado, dada su homogeneidad, yo me he inclinado por establecer la hipótesis que muestra en la Fig. 2 la aplicación de la primera ley de Kirchoff, también simplificada: La suma de las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma de las que salen de él. Se ve que la hipótesis resulta correcta para la 1ª ley. Veamos qué pasa con la segunda.

Una aplicación de la 2ª ley de Kirchoff nos dice que la caída de tensión entre dos puntos de un circuito es la misma independientemente del camino que siga la corriente para ir desde un punto hasta el otro. Ello se comprueba en las figuras 3, 4 y 5 que siguen a continuación.

En todas ellas se han conservado los valores de la intensidad de la Fig. 2, pero se han resaltado los diferentes caminos seguidos por la corriente; hay que recordar que la resistencia de cada tramo del circuito es 1 Ω . Así, para la Fig. 3 tenemos:

VBA = 1 Ω × (i / 3) + 1 Ω × (i / 6) + 1 Ω × (i / 3) = (1 Ω × i) (1/3 + 1/6 + 1/3) = i (5/6 Ω) = i × RBA

RBA = 5/6 Ω


Para la Fig. 4, será:

VBA = 1 Ω × (i / 3) + 1 Ω × (i / 6) - 1 Ω × (i / 6) + 1 Ω × (i / 6) + 1 Ω × (i / 3) =

= (1 Ω × i) (1 / 3 + 1 / 6 - 1 / 6 + 1 / 6 + 1 /3) = i (5/6 Ω) = i × RBA

RBA = 5/6 Ω

Y para la Fig. 5:  

VBA = 1 Ω × (i / 3) + 1 Ω × (i / 6) - 1 Ω × (i / 6) + 1 Ω × (i / 6) - 1 Ω × (i / 6) + 1 Ω × (i / 6)  + 1 Ω × (i / 3) = (1 Ω × i) (1 / 3 + 1 / 6 - 1 / 6 + 1 / 6 - 1 / 6 + 1 / 6 +1 / 3) = i (5 / 6 Ω) = i × RBA

RBA = 5/6 Ω

Al cumplirse las dos leyes de Kirchoff, la resistencia equivalente del cubo es de 5 / 6 de ohmio.