ProbInscribir
Según la figura, dibujamos la circunferencia menor de centro O y a ella circunscribimos un triángulo equilátero. Se trata de seguir inscribiendo los sucesivos polígonos regulares en las subsiguientes circunferencias que se vayan creando.
Se ve que hay cuatro circunferencias: La inscrita en el triángulo equilátero, y la circunscrita a dicho triángulo; a ésta se le circunscribe un cuadrado, el cual es inscrito en otra circunferencia. Análogamente van apareciendo los sucesivos polígonos y circunferencias asociadas.
Se pretende calcular los radios de las distintas circunferencias a partir de OA que es el primero de ellos. Dichos radios son, asimismo, los de los polígonos que van surgiendo.
cos(AOR) = OA / OR = cos 60 = cos (pi / 3)
OR = OA / COS (pi / 3)
cos(BOS) = OB / OS = cos 45 = cos (pi / 4)
OB = 2 OA
OS = 2 0A / cos (pi / 4)
Radios de los polígonos:
Triángulo, OR
Cuadrado, OS
Pentágono, OT
Hexágono, OU
OR = OA / cos (pi / 3) = OA / cos 60
OS = OB / cos (pi / 4) = 2 OA / cos 45
La fórmula que da los radios sucesivos R a partir del primer radio OA, es:
R = OA / (cos pi / 3 x cos pi / 4 x cos pi /5) …
Sigamos con OS para ver si funciona la fórmula; tendremos
*OS = OA / (cos (pi / 3) x cos (pi / 4))
OA / (cos (pi / 3) x cos (pi / 4)) = 2 OA / cos (pi / 4)
1 / (cos (pi / 3) x cos (pi /4)) = 2 / cos (pi / 4)
1 / (cos (pi / 3) = 2
cos 60 = 1 / 2 La fórmula ha funcionado.
Veamos lo que ocurre con OT, el radio del pentágono; será
OT = OA / (cos (pi / 3) x cos (pi / 4) x cos (pi / 5)
Midiendo en la figura, tenemos:
14,3177 = 4,0896 / (cos 60 x cos 45 x cos 36) = 14,3 (la fórmula, ok)
Hexágono:
OU = OA / (cos (pi / 3) x cos (pi / 4) x cos (pi / 5) x cos (pi / 6) )
16,4866 = 4,0896 / (cos 60 x cos 45 x cos 36 x cos 30) = 16,5 (la fórmula, ok)
En la figura podemos leer las longitudes de los sucesivos radios que reducidas a la unidad dan: