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Problema de Una escalera

No confundir con la “Historia de Una escalera”, la célebre obra de nuestro dramaturgo Buero Vallejo; célebre por ser su primer drama, por ser una creación de carácter intemporal (la he visto representar, con todo el interés del mundo, poco antes de terminar el año 2009, a un grupo de aficionados). Y no sé si añadir que también es famosa porque se estrenó dos días antes de mi cumpleaños en el mes en que yo iniciaba mis estudios de ingeniería, año 1949.

El problema me lo planteó mi amigo y contertulio Mariano Nieto Viejobueno (no liarse con este su segundo apellido y con el dramaturgo), Ingeniero de Minas él. Su argumento, como el de la Historia, es interesante y me ha dado que pensar. Él me lo presentó como el caso de un chico travieso que juega a andar por una escalera mecánica a pelo y a contrapelo de su marcha.

Sea una escalera mecánica sinfín con n elementos a la vista que es recorrida por un chico, sucesivamente, en ambos sentidos.

En los dos casos, la velocidad de avance del chico, referida a unas coordenadas ligadas a la escalera movediza, es la misma. Esa velocidad, grande o pequeña, refleja la movilidad del chico al asentar sus pies sucesivamente en el medio de cada dos escalones adyacentes.

Cuando avanza en el sentido natural (a pelo, hacia abajo; se trata de una escalera de bajada), el chico ha pisado 50 peldaños desde que entra arriba en la escalera hasta que sale de ella abajo. En el sentido a contrapelo, ha pisado 150 peldaños, asimismo desde que entra por abajo hasta que sale por arriba.

Calcular los n escalones justos que muestra la escalera cuando está parada.

SOLUCIÓN

Llamaremos:

n = la incógnita: cantidad de escalones que la escalera tiene a la vista.

v = velocidad del chico, la misma para subir que para bajar, medida en peldaños / por segundo. Estará referida a unos ejes coordenados ligados a los peldaños que se mueven. Representa el movimiento del chico tal como lo aprecia un pasajero quieto en la escalera que observara cómo se mueve el chico dentro de ella.

w = velocidad de la escalera referida a unos ejes coordenados externos a ella. Refleja la percepción de un observador externo que mirara desde fuera cómo un pasajero quieto sobre la escalera, se mueve. También se mide en peldaños / segundo: todos los que tiene a la vista la escalera divididos por los segundos que el observador externo ve que tarda el viajero quieto sobre ella desde que entra hasta que sale de la escalera.

t b = tiempo, en segundos, que tarda el chico en bajar (a pelo). Es el mismo, tanto si lo mide alguien que esté quieto sobre la escalera, como si está situado exterior a ella.

t s = tiempo, en segundos, que tarda el chico en subir (a contrapelo). Vale la observación de antes.

k = v / w Representa la relación de las dos velocidades descritas. Naturalmente, desconocemos su valor, pero sabemos que ha de ser mayor que 1 a fin de que, a contrapelo, el chico pueda superar los peldaños que se le vienen encima.

1.- Maniobra a pelo

Un observador entra en la escalera al mismo tiempo que el chico. Éste empieza a bajar y, el observador que se queda quieto sobre su peldaño, al llegar abajo ya ha medido t b (el tiempo que tardó el chico) y comprobado que el chico pisó 50 peldaños; por tanto podrá escribir:

v * t b = 50                          (1)

Otro observador que presenció la bajada desde fuera, pudo escribir (vio que el chico iba más rápido que la escalera y que el espacio total recorrido por él era el de toda la escalera, es decir los n escalones):

( v + w ) t b = n                          (2)

2.- Maniobra a contrapelo

En este caso, el observador interno no puede ser como el de antes. Habrá que recurrir a otro externo que mire sólo lo que ocurre dentro de la escalera; con los mismos criterios de antes podrá escribir:

v * t s = 150                               (3)

El observador externo, análogamente a como hizo antes, escribió:

( v - w ) t s = n                               (4)

ELABORACIÓN

Igualando (2) y (4) y sustituyendo los tiempos obtenidos de (1) y (2), tenemos:

( v + w ) * 50 / v = ( v - w ) * 150 / v

( v + w ) = ( v - w ) * 3

dividiendo por w:

k + 1 = ( k – 1 ) * 3

k = 2

es decir, v = 2 w: la velocidad del chico en ambas maniobras es doble que la de la escalera.

Llevando t b de (1) a (2), tenemos:

( v + w ) * 50 / v = n

( 1+ 1 / k ) * 50 = n

( 1+ 1 / 2 ) * 50 = n

n = 75 escalones

Dividiendo (3) entre (1) se tiene:

t s / t b = 3

El tiempo de subida es triple que el de bajada. Esto, simplemente refleja el enunciado que dice cómo el chico ha pisado 3 veces más escalones (150) al subir que al bajar (50) en sendas maniobras realizadas a la misma velocidad (que es el doble que la de la escalera).


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