QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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ProbEsfera


Sabiendo que:

El volumen de una esfera de radio R es V = (4/ 3) 𝛑 R3 .

El volumen de un cono es (1/ 3) 𝛑 r2 H, siendo r el radio del círculo de su base y H su altura.

El área de un círculo de radio r es 𝛑 r2.


Hallar el área A de una esfera de radio R.


SOLUCIÓN


La esfera que se muestra en la figura está soportada por una peana hecha de conos negros de configuraciones diversas que aportan al conjunto una cierta prestancia. La esfera está formada por conos tangentes entre sí, de color claro, de generatrices iguales y, situados de tal manera que el centro de dicha esfera es el vértice de todos los conos reunidos en un punto.


Por tanto, los círculos base de los conos están asentados en la superficie esférica de manera que las generatrices de dichos conos son también, los  radios R de la esfera.


Mirándola, se ven círculos base de conos de distintos tamaños; los más grandes aparecen arriba y los menores, en torno del polo sur.


Se ven asimismo intersticios intercono de diferentes formas y tamaños. Los de más arriba son grandes cuadriláteros curvos, y los de más abajo son pequeños triángulos.


De todo lo anterior se deduce que la esfera resultará mejor representada cuando los conos, conservando sus generatrices R, tengan bases menores y, por tanto en mayor cantidad.


Veamos qué ocurre cuando la cantidad n --> y, por tanto, r --> 0; entonces, también la generatriz del cono --> a su altura H. Asimismo, la suma de los volúmenes de los conos tenderá al volumen de la esfera, ya que los volúmenes intersticiales, también  --> 0.


Y la suma de las áreas de los círculos base de los conos, tenderá al área A de la esfera.


Todo ello nos permitirá escribir:

Cuando  n --> , será