En medio de un campo hay una valla circular de centro O y radio OA. En A está atada una cabra con un ramal de longitud AC = 11 m de manera que esta longitud sea igual a la de la semicircunferencia de radio OA. Se pide averiguar qué superficie puede pastar la cabra sin sobrepasar la valla.

Ya se ve que siendo AO π = AC, será: AO = R (Fig. 2) = 11 / π = 3,5 m.

La Fig. 1 muestra la situación. La cabra no puede acercarse a Y; sólo llegar a B. La solución vendrá dada por el área limitada por el doble del perímetro BOACDPB descontando luego el área del círculo de centro O (el interior de la valla). Nos fijaremos, pues, en lo que ocurre con la mitad derecha de la figura.

Cuando la cabra ha pastado el cuadrante inferior derecho de radio AC, y comience a pastar hacia arriba, tendrá que enrollar su ramal sobre la valla describiendo la curva evolvente de la circunferencia de centro O. Así, P será un punto de esa curva cuyo comienzo está en D y cuyo tramo final es el arco PB.

La evolvente está construida por puntos de esta manera. La circunferencia base de centro O se divide en partes iguales (en este caso, 10 en su mitad derecha). Aprovecho la ocasión para resaltar que el nombre de circunferencia base es el que se da en el cálculo de engranajes para definir los perfiles de evolvente que tienen los dientes a fin de conseguir que engranen entre sí sin deslizamiento.

Se trazan las tangentes en cada uno de esos puntos acotando su longitud a una distancia igual a los 11 m del ramal menos la longitud de ramal enrollada desde A hasta el punto de tangencia.

Esa longitud enrollada es la del arco de circunferencia que se obtiene recordando que arco (en metros) = ángulo (en radianes) x radio (en metros).

Los extremos de las tangentes serán los puntos de la evolvente. Para obtener la curva basta unirlos mediante una spline (curva diferenciable definida mediante polinomios), si es posible, o si no, mediante una línea quebrada, con lo que se obtendrá una menor precisión.

Para la posición P, por ejemplo, la configuración del ramal será (Fig. 2): el arco enrollado AT, más el tirante TP cuya longitud iguala la del arco TB. Obsérvese en P el ángulo recto que forman la evolvente y la tangente PT (que es la normal a la curva en P).

En esas condiciones las coordenadas de P en forma paramétrica serán:

x = R cos φ + TP sen φ

y = TP cos φ - R sen φ

siendo TP = arco TB = (φ + π / 2) R

El área bajo la evolvente DPB será:     

siendo

dx = (-R sen φ + TP cos φ) dφ

Sustituyendo TP por su valor en función de φ, tanto en y como en dx, queda todo el integrando en función de la constante R y de la variable φ. Lo complicado que resulta dicho integrando hace inviable la integración.

Intentemos en coordenadas polares.

El punto de la evolvente será P (r, α) y la diferencial de área para él valdrá:

ds = ½ r dα x r = ½ r2 d α

Tratemos de poner ambos, r y α en función de una nueva variable: el ángulo γ.

r = R / cos γ

(γ - α + π/2) R = arco TB = TP = R tan γ

γ - α + π/2 = tan γ

α = π/2 + γ - tan γ

d α = d γ - (1 + tan2 γ) d γ = (1-1- tan2 γ) dγ = - tan2 γ dγ  

ds = ½ (R / cos γ)2 (- tan2 γ) dγ

ds = - ½ (R2 / cos2 γ) (tan2 γ) d γ= - ½ R2 (tan2 γ / cos2 γ) dγ

siendo los límites de integración para γ

inferior: arc tan (DA / AO)

superior: 0

Afortunadamente, la integral anterior se encuentra muy sencilla y elegantemente resuelta en Internet (Paula Andrea Bustos).

Haciendo el cambio de variable u = tan γ     ;      du = sec2 γ dγ

Se tiene:

Aplicando a S los límites correspondientes, tendremos:

72,35º es el arco cuya tangente vale DA / AO = 11 / 3,5 = π

En definitiva tendremos:

S = (1 / 6) (3,52  π3) = 112 π/ 6 = 63,3554 m2

Que supone una superficie total pastable por la cabra de

63,3554  2 + 112  π/ 2 = 316,77716 m2.

La Fig. 3 muestra el área S comprendida entre la circunferencia base, la evolvente y el radio AD de 11 m.

De haber tomado como áreas parciales los 9 cuadriláteros y el triángulo que se muestran, los S = 63,3554 m2 se habrían reducido a 62,6622 m2.

Los lados menores de esos cuadriláteros son las respectivas cuerdas sobre las dos curvas; los otros son las tangentes.