ProbAdosado

Este problema ya lo tengo planteado en otro lugar y con varias soluciones. Ahora estoy leyendo un libro en el que vuelve a aparecer, asimismo con otra solución distinta. Yo, a mi vez he descubierto una nueva solución, que voy a exponer, por si fuera realmente novedosa.

Demostrar, según Fig. 1, que con los ángulos marcados como B, C y D ocurre que

B = C + D

Fig. 1

Si ese fuera el caso y, mirando a lo marcado bajo OX, sería:

D = COB

Para demostrar lo propuesto habrá que demostrar esta última igualdad. Y para ello, acudimos a la Fig. 2.

Fig. 2

Supongamos en ella que el lado de los tres cuadrados es AB = 1 y que EF = 1 / 2. Se ve que los triángulos rectángulos OCA y BEF son semejantes (razón 2 / 1). Lo son porque sus tres ángulos son iguales (los ángulos agudos menores tienen su tangente = 1 / 2); además, tienen sus catetos homólogos perpendiculares, luego sus hipotenusas también lo serán; es decir, OC y Be son perpendiculares.

Por ello, también son semejantes los GBH y EBF con razón de semejanza EB / BG  = √[(1 / 2)2 + 1)] / (1 /2) = √5.

Así será

HG = (1 /2) / √5

HB = 1 / √5

OH = HG + (1 / 2) OC = (1 /2) / √5 + (1 /2) √5 = 3 / √5

Tg COB = tg HOB = HB / OH = 1 / 3     

Tg ODA = tg XOD = 1 / 3

Luego COB = XOD , c.q.d.