En nuestro caso podremos escribir lo dicho antes, de esta manera:
1 Mol de NaHCO3 ≡ 84 g de NaHCO3 produce 22,4 lt de CO2
Los 8 × 3,3 = 26,4 g de NaHCO3 que manejamos en el experimento producirán 26,4 × 22,4 / 84 = 7,04 lt de CO2. a 1 at de presión.
Ahora bien, esos 7 lt de gas producidos los confinamos en un volumen de 1,5 – 0,25 = 1,25 lt que es el volumen que queda libre en la botella. La consecuencia es que el gas aumentará de presión. Ese aumento viene dado por la ley de Boyle-Mariotte que se enuncia así:
A temperatura y cantidad de gas constante, la presión de un gas es inversamente proporcional a su volumen: p1v1 = p2v2. Al mantenerse constante la temperatura, estamos hablando de un proceso isotérmico.
Así pues, podremos escribir: 1 × 7 = p2 × 1,25; es decir p2 = 7 / 1,25 = 5,6 at.
Esta presión y el diámetro del agujero de la botella central (25 mm) son quienes determinan el valor de la fuerza impulsora del cohete.
Vamos a utilizar unidades referidas al Sistema Internacional de Unidades (SI), con las siguientes equivalencias:
1 atmósfera = 101.325,34 Pa (Pascales).
1Pa=N/m^2 =J/m^3 =kg/(m×s^2 )=9,8692×〖10〗^(-6) atmósteras
siendo en el SI:
Pa ≡ Pascal (unidad de presión).
N ≡ Newton (unidad de fuerza).
m ≡ metro (unidad de longitud).
J ≡ Julio (unidad de trabajo o de energía).
kg ≡ kilogramo (unidad de masa).
s ≡ segundo (unidad de tiempo).
Así que las 5,6 atmósferas del CO2 se convierten en 5,6 / 9,8692×〖10〗^(-6) = 567.421,88 Pa.
El efecto de esa presión en el interior de la botella es, primero, destapar su tapón (la zona más débil por la que puede escapar) y, casi instantáneamente, ejercerse con fuerza sobre él y el suelo en que se asienta después de su expulsión (ver la figura de la izquierda).
Esta fuerza vendrá dada por el producto de la presión del CO2 por la superficie del agujero de salida que se proyecta sobre el suelo. Siendo 25 mm el diámetro del agujero será:
F = 567.421,88 x π x 0,0252 / 4 = 278,5326 N.
Por lo que se ve, estamos ante los efectos de la 3ª Ley de Newton, la de la acción / reacción que se puede enunciar así:
Cuando un objeto hace una fuerza sobre otro (el gas sobre el suelo), éste reacciona ejerciendo sobre el primero otra fuerza de igual magnitud, en la misma dirección pero de sentido contrario a la del primero. Esto se ve en la figura que muestra una botella llena de un genio-gas que se apoya en el suelo para, desde dentro, empujar la botella hacia arriba, en dirección vertical.
A medida que la botella asciende, el gas, cada vez con menos presión puesto que se va liberando, ya no se apoyará en el suelo, sino en el aire. Todo ello hace que la botella llegue al punto de altura H en el que ya no conserva impulso, se detiene e inicia su caída.
La botella hará el descenso en caída libre de acuerdo con un movimiento rectilíneo (vertical) uniformemente acelerado según la aceleración constante de la gravedad g. A ese movimiento son aplicables las cinco fórmulas del Adenda con sólo sustituir la aceleración a por g y el recorrido d por la altura h. Y añadiendo, cuando proceda, la velocidad inicial V0. Así, la 4ª nos da que: (Vf)2 = 2gH ; Vf = √2gH que es la conocida relación que da la velocidad final de caída libre de cualquier cuerpo en función de la altura H de la que cae.
Si en el recorrido ascensional de la botella suponemos una velocidad inicial equivalente a la que produce la presión del CO2 y de valor V0 = √2gH, tendremos:
al convertir la ecuación 4
(Vf)2 = 2ad
en esta otra (Vf)2 = (V0)2 – 2gH
resulta
(Vf)2 = 2gH – 2gH = 0
es decir, se llega a la velocidad final nula en el cenit de la ascensión cuando la velocidad inicial de la ascensión es igual a la velocidad final del descanso.
A partir de la frontera entre la química y la física del experimento hemos repetido la palabra impulso que tiene mucho que ver con la 2ª Ley de Newton (F = m x a).
Si multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por el tiempo t durante el cual actúa la fuerza, tenemos:
F x t = m x a x t = m x (v / t) x t
F x t = m x v
Al primer miembro de la ecuación se llama impulso mecánico y al segundo, cantidad de movimiento.
En la figura de la derecha, el futbolista que da un patadón vertical al balón transmite a éste la cantidad de movimiento de su pierna para provocar el movimiento ascensional del balón.
La fuerza F = 278,5326 N se aplica a la botella durante un tiempo t muy pequeño para producir sobre la masa m = 0,135 kg (es la masa del conjunto de las 4 botellas: la principal y sus tres auxiliares) una velocidad inicial, como se ha dicho, de V0 = √2gH.
Si suponemos que la H alcanzada es de 7 m como propone el enunciado, será:
V0 = √(2 x 9,8 x 7) = 11,7 m / s
Aplicando todos estos valores a la fórmula de impulso / cantidad de movimiento tendremos:
278,5326 x t = 0,135 x 11,7
de donde
t = 0,135 x 11,7 / 278,5326 = 0,006 s
Es decir, la explosión destaponadora se habrá producido en 6 milisegundos: estamos ante un fenómeno de choque elástico (como el de una raqueta contra la pelota de tenis).
