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POLÍGONOS ENSIMISMADOS


Llamo así a los que tienen la misma forma pero un número de lados múltiplo del de sus correspondientes regulares. Igual que ocurre con éstos, su perímetro se puede recorrer sin levantar el lápiz del papel (partiendo de un vértice cualquiera, para llegar a él), dando varias vueltas completas en vez de una. Me los ha inspirado la bella figura que es el logotipo de Cementos Portland Valderribas.

Fig. 1

La Fig. 1 muestra la génesis del logo de la cementera a partir del triángulo equilátero de la izquierda. Se copia éste tres veces en las posiciones indicadas para que aparezcan superpuestos en la cuarta imagen. En ella están coloreados alternativamente en rojo y blanco los seis lados resultantes a fin de visualizar las dos vueltas que hay que dar al perímetro. La sexta imagen es el logo resultante de desplazar adecuadamente los triángulos y de superficiar sus lados. En las dos últimas imágenes se aprecian tres mordeduras.


A continuación voy a jugar con los tres primeros polígonos regulares. Con todos ellos haré lo que muestro con el pentágono de la Fig. 2: inscribir en una circunferencia dos polígonos concéntricos cuya relación de radios es 1,2. Así se distinguen las dos vueltas de perímetro al tiempo que quedan lo suficientemente próximas para evocar su superposición real.

Fig. 2

La Fig. 3 muestra tres columnas, respectivamente, con 3 triángulos, 4 cuadrados y 5 pentágonos. Los polígonos de la primera línea tienen una mordedura, los de la segunda, dos, y así sucesivamente. De esta forma se aprecia que con un número impar de mordeduras es posible materializar un perímetro de dos vueltas. Si el número es par, sólo es posible una vuelta para dar un polígono; el otro queda independiente.


Como ejemplo de las manipulaciones posibles, la primera columna muestra sendas “figuras logo”, las correspondientes al cuadrado de tres mordeduras y al pentágono de cinco.


Al comienzo hablaba del recorrido perimétrico desde cualquier vértice para llegar a él sin levantar el lápiz del papel dando varias vueltas completas. En las dos “figuras logo” de la Fig. 3 se comprueba que existen 8 y 10 vértices, respectivamente (los correspondientes a dos cuadrados o dos pentágonos; no son tales vértices los puntos de cruce de lados), y que, desde cualquiera de ellos se llega al vértice de partida dando dos vueltas.

Fig. 3