PentaCua

Papirofléxica

Inscribir en un cuadrado, simplemente plegando, un pentágono regular convexo.

Evidentemente, eso no se puede obtener de la forma en que convencionalmente se entiende pero, ya se verá, al final, cómo el planteamiento tiene sentido.

Partiremos de un cuadrado de centro P y lado L = 1, con su diagonal por P, la horizontal, también por P, y la semidiagonal por D (Fig. 1).

En la Fig. 2 hemos trazado la vertical DE, la recta CD y la mediatriz de ésta que corta a CP en O.

Veamos cómo O es el centro del pentágono que buscamos.

Fig. 1

Fig. 4

Fig. 3

Fig. 2

Tang (DCE) = DE / CE = (1/ 4) / (3 / 4) = 0,33

<DCE = arc tg (0,33) = 18º (adopto la resolución del número entero).

En la Fig. 3 se ve que siendo <DCO = 18º, el ángulo señalado en C medirá 90 + 18 =108º que es lo que mide el ángulo interior de un pentágono regular convexo 180 (5 - 2) /5 = 108º.

Además, será <FOC = 90 – 18 = 72º

AO, bisectriz de <FOC, determina que <AOC = 72 / 2 = 36º

Como 36 = 360 / 10 resulta que O es el centro del pentágono; OC = su apotema y AC = la mitad de su lado. Para tener AB como lado completo del pentágono, basta trazar OB simétrico de OA.

Ya es cuestión, como se ve en la Fig. 4, de trazar la circunferencia de radio OA y los sucesivos diez triángulos (cada uno, simétrico del anterior) del tipo AOC. En dicha Fig. 4 se aprecian dos vértices gordos como consecuencia del redondeo. El resultado definitivo es más que aceptable para una solución obtenida sólo plegando el papel. Cuatro, de los cinco vértices del pentágono están sobre los lados del cuadrado.