MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Y UNIFORMEMENTE ACELERADO

NOTA

Lo que sigue son unas divagaciones aclaratorias a propósito de lo que mi nieto Gonzalo me planteó al iniciarse en el colegio sobre esta materia.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Hagamos el siguiente experimento (Fig. 1):

Una bola está en reposo en A y puede rodar con suma facilidad a lo largo de AO2. Naturalmente, si no la aceleramos mínimamente seguirá siempre en reposo. La arrancamos con una aceleración despreciable, por ejemplo, inclinando ligerísimamemente AO2 cuesta abajo hasta que la bola pueda alcanzar el tope en O2. Supondremos, pues que no ha existido aceleración alguna y que por tanto la bola se ha movido con velocidad constante v a lo largo de la recta horizontal AO2 hasta el tope en O2 que la vuelve al reposo.

Esta Fig. 2 muestra un plano de coordenadas espacio (s en ordenadas) / tiempo (t en abscisas) con origen en O1.

En ella se ve que el espacio AO2 (el de Fig. 1, que se llama de la misma manera en la Fig.2) se recorre en el tiempo O1A, pues en ese plano coordenado, las coordenadas del final de recorrido O2 son precisamente (O1A ; AO2).

Esta relación de coordenadas es acorde con lo que sabemos, y es que s = v  t. Siendo esto así, lo que está ocurriendo es que la velocidad constante de la bola viene dada por la tangente del ángulo α; para ello basta comparar las siguientes expresiones: tg (α) = AO2 / O1A y v = s / t.

De esta manera, si fotografiamos el punto A1 de Fig. 1 podremos saber cuanto tiempo ha tardado la bola en recorrer AA1 en dicha Fig.1. Viendo que AA1 = (2/3)  AO2, basta superponer la longitud AA1 sobre O1S para obtener A1 sobre O1O2 (AA1 de Fig. 1 = A1A2 de Fig. 2). Ello nos da que el tiempo buscado es O1A2. Ya se ve que también para el punto A1 se cumple la constancia de la velocidad v como tg (α).

En la parte inferir de la Fig.2 se muestra lo que ocurre en los planos velocidad / tiempo (v / t) y aceleración tiempo (a / t). El primero pone de manifiesto que la velocidad es constante durante todo el tiempo que dura la rodadura de la bola con un valor OD = 1,8 = tg (α). = tg 60,9 º = 1,8. Aquí hay que tener cuidado con la escala en que se representan cada una de las magnitudes (longitud, velocidad, aceleración, valores adimensionales, etc), por exigencias del dibujo.

En cuanto al plano (a / t) se ve que durante todo el tiempo, la aceleración es nula (movimiento rectilíneo uniforme, sin aceleración; recordar que al principio la hicimos despreciable).

Continuamos el experimento con la Fig. 3 en la que se ha quitado el tope de O2 para que la bola caiga verticalmente hasta A. Este movimiento será uniformemente acelerado por estar afectado de la aceleración de la gravedad que es constante (9,81 ≃ 10 m/sg2).

La Fig. 4 es una representación en el plano espacio / tiempo de lo que ocurre en la 3. En nuestro caso tampoco ahora tenemos ni espacio ni velocidad iniciales: la bola inicia su caída desde su origen O2 estando en reposo.

Lo que representa esa Fig 4 es que la relación espacio / tiempo en el presente caso es: s = ½ a t2 y se materializa en una rama de parábola (relación cuadrática) entre O2 y C.

Conviene resaltar la diferencia entre O2 C y O2 A: la primera es la realidad y la segunda es una representación ad hoc. Sin embargo, O2 C representaría también la realidad si consideráramos la bola arrastrada por la corriente del Niágara al llegar a la catarata. Sería así porque entonces la bola estaría sometida a la composición de dos fuerzas: la de la gravedad y la de impulsión ejercida por la corriente. Se trataría de un caso semejante a los considerados en balística donde las trayectorias son también parabólicas.

Asimismo hay que decir que el dibujo se ha hecho para una aceleración de 0,2 m/sg2 ya que los 10 de la aceleración de la gravedad resultaban inconvenientes. Ello se puede conseguir haciendo la caída de la bola en vez de al aire, en un medio de viscosidad adecuada.

Así pues, los puntos de la parábola representan el avance de la bola en cada momento. Trazar las tangentes a la parábola en esos puntos equivale a hallar la derivada de la función en dichos puntos. Como esa primera derivada es la velocidad de la bola cuando pasa por ellos, la tangente de dichos ángulos será la velocidad que, como se ve, es creciente.

En los dos planos inferiores al de la parábola (velocidad / tiempo y aceleración / tiempo) se ve que OE = 0,2 m / sg2, es constante durante todo el tiempo que dura la caída. La velocidad OF es siempre creciente de tal manera que la tangente del ángulo FOt es precisamente la aceleración 0,2 m / sg2.

La Fig. 5 sirve para aclarar lo que acabo de decir; es una vista ampliada del entorno de la parábola a fin de mostrar mejor los 4 puntos elegidos (además del vértice), las tangentes en ellos y los triángulos correspondientes que, dan lugar a los ángulos del tipo β cuyas tangentes permiten conocer la velocidad en dichos puntos; ya se ve que los 4 ángulos β son crecientes y, por consiguiente, sus tangentes, también.

UNA PEQUEÑA COMPROBACIÓN

En la Fig. 6 se han llevado los valores de las cinco tangentes de los ángulos β a los lugares correspondientes de cada punto; naturalmente, la tangente en el vértice de la parábola es cero. Se ve que los 5 puntos resultan alineados de manera que la recta que determinan forma un ángulo γ con el eje de tiempos: la tangente de ese ángulo γ es precisamente la aceleración de 0,2 m / sg2.

Me apresuro a hacer unas precisiones.

Como se ve, la alineación no es perfecta pero sí aceptable, y ello por varios motivos. La parábola se ha definido sólo por unos pocos puntos; ya se ve que su vértice resulta un tanto picudo. La transformada de puntos a curva se hace mediante una spline polinómica que es buena pero que no puede hacer milagros.

Por otra parte he de recordar lo ya dicho a propósito de las escalas. En esta Fig. 6, y para una representación más visible, los valores de las tangentes se han multiplicado por 10, de manera que tg γ = 2 en vez de 0,2 m / sg2.