FRACTAL 3D INVERSO

La Fig. 1 es un tetraedro de 4 pisos hecho con 16 tetraedritos llenos y una serie de volúmenes vacíos. En el plano (2D) llamaremos líneas a los pisos. Denominamos tetraedro Nº 2 a ése de la Fig. 1. Cada una de sus cuatro caras constituye un triángulo equilátero fractálico de Sierpinski.

Veamos cómo se ha construido dicha Fig. 1 empezando a partir del tetraedrito del vértice superior. Conseguido éste con facilidad (ver la Pag. 55), se construyen otros tres iguales a él que se colocan luego a manera de patas bajo los tres vértices de su base. Así hemos conseguido un nuevo tetraedro (el Nº 1) de dos pisos con cuatro tetraedritos llenos y un volumen vacío consistente en un octaedro de lado igual al del tetraedrito.

A continuación se construyen otros tres tetraedros iguales al Nº 1 y se colocan como patas de él. Con ello tenemos el tetraedro Nº2 que nos da el conjunto final del gran tetraedro, el de los cuatro pisos. Lo califico de final porque me cansé de continuarlo: en algún momento tenía que terminar la construcción. De haber construido otros tres tetraedros iguales al Nº 2 para ponerlos como patas de él, etc. etc …

Como se ve, he seguido la técnica usada en la construcción de fractales, construcción que no tiene fin. Pero se ha aplicado de forma inversa: los fractales van de lo grande inicial a lo infinitamente pequeño “final”. Recordar lo dendrítico que va en un árbol desde su grueso tronco a las ramitas terminales. Aquí hemos hecho al revés: hemos partido de lo pequeño (lo de tetraedrito es intencionado) para llegar a lo grande (al tetraedro creciente y tan grande como queramos).

En la Fig. 2 se ve el fractal triángulo equilátero de Sierpinski que está construido así: Se parte del gran triángulo negro; se unen los puntos medios de sus tres lados para obtener un triángulo blanco en su centro y tres triángulos negros (los cuatro del mismo tamaño y área ¼ de la del primero). Después se actúa sobre esos tres triángulos negros haciendo con cada uno de ellos lo mismo que se hizo con el triángulo grande primero. Así se llega a la imagen de la derecha.

De haberle aplicado a ésta, después, la misma sistemática seguida antes, habríamos obtenido otro triángulo equilátero que conserva los mismos blancos de su anterior pero añadiendo un nuevo blanco en el centro de cada negro. Así se van teniendo, sucesivamente, nuevos triángulos blancos y negros cada vez más pequeños mientras se conservan en tamaño y cuantía, los precedentes blancos.

Hay que decir que se suele llamar pirámide de Pascal o de Sierpinski a algo parecido a la Fig. 1. La diferencia entre ésta y las otras es que yo, por facilidad de construcción, he manejado sólo tetraedros mientras que las otras son pirámides cuadrangulares. Por lo demás, todas las caras laterales pueden servir de asiento al triángulo equilátero de Pascal ( y en mi caso, incluso la base). A Sierpinski, la base cuadrada de su pirámide le sugirió crear la famosa alfombra fractálica hecha a base de cuadrados blancos y negros. Alfombra que, a su vez, llevó a Menger a diseñar su célebre esponja que está llena de huecos cúbicos de caras alfombráicas.

El triángulo de Pascal (Fig. 3) sirve entre otras cosas para desarrollar potencias de binomios del tipo (a + b)n. El resultado del desarrollo es un polinomio de n + 1 términos cuyos monomios (con potencias en a y b) están afectados por los coeficientes binomiales que se extraen del referido triángulo. Así, por ejemplo, para la potencia n = 5 acudiremos a la línea sexta del triángulo (la primera es un 1). Obsérvese que en el triángulo, la segunda escalera de números, por la izquierda, muestra n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 …

Los coeficientes de los seis monomios serán, pues: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Así tenemos como desarrollo del polinomio

(a + b)5 = 1 × a5 + 5 × a4 b + 10 × a3b2 + 10 × a2b3 + 5 × a b4 + 1 × b5

Veamos cómo está construido el triángulo. Sus lados izquierdo y derecho están hechos de unos. Cada número interior se obtiene sumando los dos superiores a él. Así, 10 = 4 + 6 y también 10 = 6 + 4.