ProbTrenes

Un tren de pasajeros que es x veces más rápido que un mercancías, tarda en adelantarlo x veces más que lo que tardan en cruzarse dichos dos trenes. Hallar x.

SOLUCIÓN

Fig.1

La Fig. 1 representa el cruce de los dos trenes circulando por doble vía . Parte superior: El amarillo, largo y lento es el mercancías que marcha hacia la derecha a velocidad V; el de pasajeros es rojo, corto y rápido: su velocidad es Vx, siendo x > 1 según el enunciado. Circula en sentido contrario al otro. En dicha parte superior empieza el cruce de trenes. La punta de las  flechas se sitúa en la cabeza de las locomotoras donde están los maquinistas.

En el momento de iniciarse el cruce hacemos un doble juego de magia y pasamos a la parte inferior de la figura: conseguimos que el mercancías se detenga y que el de viajeros cambie su velocidad de Vx a Vx + V. La detención del mercancías se indica mediante la eliminación de la punta de flecha al vector velocidad V.

Ya en la parte inferior, el tren de viajeros sigue marchando a su nueva velocidad hasta superar al mercancías parado.

Los dos maquinistas ven cuando comienza el cruce y aprecian su final por medio de un retrovisor o algún otro artificio. Y ambos constatan el mismo tiempo de cruce según lo ha medido cada uno. Y saben que el tiempo de cruce obtenido a mercancías parado es el mismo que se hubiera dado de haberse cruzado a sus velocidades normales V y Vx.

La Fig. 2, en su parte superior  es la expresión del alcance del tren lento por el rápido. Y el paso a la inferior también es mágica: el mercancías se detiene pero, el de viajeros disminuye su velocidad de Vx a Vx – V, hasta superarlo al final..

Con todo esto podemos escribir, llamando R a la longitud del tren de viajeros y A a la del mercancías:

Tiempo = Espacio / Velocidad

Tiempo de cruce = (R + A) / (VX + V)

Tiempo de adelantamiento = (R + A) / (VX - V)

Como según el enunciado es Tiempo de adelantamiento = X (Tiempo de cruce), será:

(R + A) / (VX - V) = X [(R + A) / (VX + V)]

1 / (X - 1) = X / (X + 1)

X (X - 1) = X + 1

X2 – 2X – 1 = 0

X = 1 + √ (2)

Fig.2