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Pgs. 1    2  


Problema SAN GAKU 1

Mi amigo Mariano Nieto me propuso este problema después de haberlo investigado:

“Sangaku es una expresión japonesa que significa “tablilla matemática”. Estas tablillas de madera pueden llamarse realmente matemáticas pues en ellas, los japoneses del periodo Edo, siglos XVII y XVIII, en que Japón mantuvo un férreo aislamiento de occidente, y por supuesto de los matemáticos europeos, inscribían determinados problemas, principalmente geométricos, para presentarlos como ofrenda votiva a sus dioses colgando las tablillas a la entrada de los templos. Así pues, los problemas llamados sangaku son los que se han encontrado grabados sobre estas tablillas de las que muchas se han perdido en el transcurso del tiempo, no obstante existen en la actualidad unas 880; la más antigua data de 1683.

     En 1989 los matemáticos H. Fukagawa y D. Pedoe editaron un trabajo titulado Japanese Temple Geometry Problems: Sangaku, que contiene la primera colección de problemas sangaku fuera de Japón.

     En una misma tablilla podía haber varios problemas que, en general, son de aparente simplicidad, aunque algunos requieren para su solución utilizar matemáticas superiores. Las figuras se dibujaban en colores vivos. En la tablilla se incluía, junto con el enunciado, la solución, aunque no el procedimiento para llegar a ella.”

     

    Ahora sigo yo. En la referencia de Internet de más arriba lo que se abre es un libro en .pdf con 81 páginas que contiene una gran cantidad de variados problemas; el que vamos a ver es, pues, uno de ellos. La última parte del libro contiene las soluciones. La mía, en este caso, es distinta de la que ofrece el libro, y creo que más simple.

La Fig. 1 es tal como se presenta en el original.

Se pide demostrar que R en el triángulo aYR mide tanto como el radio de la circunferencia.

Los tres triángulos rectángulos son semejantes porque tienen sus ángulos iguales; sus tres ángulos rectos lo son también del cuadrado. A esos triángulos los llamaré, respectivamente, pequeño, mediano y grande.

La Fig. 2 es la misma 1 girada para acomodarla a la que utilizo al demostrar el teorema de Haga en la Pág. 8, y en la 11, mi Corolario P; todo ello, de mi libro Matemáticas y Papiroflexia.


    Ya se ve que el cuadrado está plegado para que su lado L resulte tangente a la circunferencia, y con su vértice X2b asentado en el lado opuesto a L.

Como facilidad hago que L valga la unidad, de manera que a esa unidad estén referidos todos los demás segmentos en forma fraccionaria.

Según el Corolario P, se tiene:


Si

Siendo

Será

Sustituyendo y despejando, tendremos

(1)

En la figura se ve que      1 = R + X2 + d                    1 = R +X2 + X1

lo que nos lleva a la 1ª curiosidad: d = X1.

Si sustituimos d en (1) y hacemos que X represente indistintamente a  X1 o X2, tendremos:


que da las dos raíces X1 y X2 en función de R.


Sabemos que en una ecuación de segundo grado           Ax2 + Bx + C = 0

la suma de sus raíces vale    Σ = - B / A

En nuestro caso, será:   Σ = X1 + X2 = 1 – R

que demuestra la proposición del enunciado.


                                                                                                             SIGUIENTE     

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