QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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ProbRío     


Dos embarcaciones, navegando a velocidades distintas y constantes, parten simultáneamente de las orillas paralelas, A y B, de un ancho río, en dirección perpendicular a dichas orillas, (se supone que las aguas están estancadas). Ambos barcos se cruzan a 720 yardas de la orilla A. Una vez que llegan al extremo opuesto del rio, hacen una parada de 10 minutos antes de iniciar  el viaje de vuelta. Al cruzarse de nuevo lo hacen a 400 yardas de la orilla B.

¿Cuál es la anchura del rio?


Un sistema de ecuaciones te llevará a resolver el problema. El verdadero reto es hacerlo solo por la “cuenta de la vieja”.



SOLUCIÓN

X es la anchura del río entre las orillas A y B (olvidar, de momento, el resultado de 1760).

L es la embarcación lenta que parte de A.

R es la embarcación rápida que parte de B.

VL es la velocidad de L

VR es la velocidad de R.

M es el primer punto de cruce entre las dos embarcaciones.

N es el segundo punto de cruce entre las dos embarcaciones.

M y N evocan simultaneidad. Igual que los inicios L y R del primer recorrido.

Las horizontales por M y N, aunque se ven separadas para ilustrar el proceso, son coincidentes en la realidad.

El recorrido de L es (en negro):

     Ida: LMD.

     Vuelta: DN LF.

El recorrido de R es (en rojo):

     Ida: RMC.

     Vuelta: CN RF


Los 10 minutos de parada del enunciado son irrelevantes, así que yo los he reducido a cero, tal como se aprecia en la figura en que no aparecen.


Aunque en la parte superior de la figura se muestra un T1 (a la derecha en rojo y sobre curva ) que parece mayor que el T1 negro de la izquierda, esos tiempos son iguales; siendo VR > VL lo que sí ocurre es que MR > ML. Los valores de tiempo aparecen sobre curvas y los de distancias sobre rectas, y expresadas en yardas.


Con todo lo anterior podemos escribir:


Mirando a T1 (parte superior de la Figura)

720 = VL * T1


X – 720 = VR * T1


VR / VL = (X – 720) / 720                                                                                 (1)


Mirando a T2 (parte inferior de la Figura)


X – 720 + 400 = VL * T2


720 + X – 400 = VR * T2


VR / VL = (720 + X – 400) / (X – 720 + 400) = (X + 320) / (X - 320)                (2)


Igualando (1) y (2):


(X – 720) / 720 = (X + 320) / (X - 320)


720 * (X + 320) = (X – 720) * (X – 320)                                      X = 1760


Con estos resultados derivados:


VR / VL = (1760 + 320) / (1760 - 320) = 1,4444


MN = 1760 – (720 + 400) = 640


Lo curioso es que 1760 = 720 * 3 – 400                   (*)


Que es cosa que yo no supe explicarme, pero la vieja sí. Para esto ella no necesita del álgebra, pero si de la regla de tres simple (algo complicada, pero no compuesta). En esto estriba la genialidad del autor del enunciado del problema.


Otra cosa curiosa. Para obtener (1) y (2) y llegar al resultado final, yo había dibujado la figura, por casualidad, de forma correcta y a escala, es decir, para LM < MR. Pero si en lugar de hacer eso hubiera hecho un croquis rápido invirtiendo los colores rojo / negro, tanto en T1 como en T2 (sería, por ejemplo, LM > MR), el resultado era el mismo, lo cual parecía mosqueante. El mosqueo se sustancia en que, según (*), la anchura del río depende exclusivamente de las distancias a los puntos de cruce 720 y 400.


En la Figura se ve el recorrido completo de ida y vuelta de ambas barcas, la Lenta L (en negro, L, M, D, N, LF) y la Rápida R (en rojo, R, M, C, N, RF). Ambos recorridos son iguales para cada una (el doble del ancho AB del río). Son iguales en longitud (el conjunto de las dos barcas hace 4 anchos de río: uno rojo y otro negro a cada lado de la horizontal por M, y otro tanto en la horizontal por N), pero no en tiempo consumido en hacerlo. Aunque ambas inician su recorrido en el mismo momento en L y R (extremos de la horizontal por M), los momentos finales del viaje no son simultáneos (la barca Lenta L llegara LF más tarde que R a RF, porque ésta es más rápida).


Aunque hay simultaneidad en el comienzo del viaje, al no haberla en su final, no resulta útil considerar los 4 anchos completos (se descarta, pues, el tramo en línea discontinua –rojo más negro bajo a horizontal por N–). Sí nos fijaremos en cambio en los tres primeros que ofrecen simultaneidad en el comienzo (L; R) y en su final, el cruce de las barcas en N.


De aquí, la regla de tres:


En 1 ancho de río (el 1º, LR), la barca Lenta aporta 720 yardas; el resto lo aporta la Rápida.

En 3 anchos de río  la barca Lenta aportará 3 × 720 yardas (LMDN; el resto lo aporta la Rápida).


De ello se deduce que MDN = 2 × 720, o sea


X – 720 + 400 = 2 × 720


X = 3 × 720 – 400 = 1760 yardas.


Seguramente es que la vieja, que no entiende de ecuaciones pero es muy lista, esta sencilla la resolvió de memoria. Lo cierto es que solucionó el problema sin acudir a las velocidades como herramienta intermedia.