ProbPueblos

Un individuo va en coche del pueblo A al B a 60 Km / h. Se pregunta ¿A qué velocidad X ha de regresar a A para que la velocidad media del viaje de ida y vuelta sea de 120 Km / h?

SOLUCIÓN

(60 + X) / 2 = 120

60 + X = 240

X = 180 Km / h

Aparentemente es una buena solución, la primera que se nos ocurre. Pero veremos que no lo es haciendo entrar en el juego al espacio S que separa los dos pueblos, y los tiempos  T1 (ida) y T2 (vuelta). Será:

(*)      S = 60 T1 =  X T2

2S = 60 T1 + X T2

2S = 120 (T1 +  T2)

60 T1 + X T2 = 120 (T1 +  T2)

(**)     0 = 60 T1 + 120 T2 – X  T2

Si en esta última igualdad sustituimos X = 180, será:

0 = 60 T1 – 60  T2

Es decir, T1 = T2

Cosa que se contradice con que la media de ida y vuelta sea de 120 (sería de 60)

Volvamos atrás sabiendo que las igualdades  (*) y (**) son ciertas. De ellas deducimos:

0 = X T2 + 120 T2 – X  T2

Esta ecuación se satisface para T2 = 0, lo que implica que si el tiempo de vuelta es cero la velocidad X de vuelta ha de valer infinito.

0 × ∞ = Indeterminado. ¿Cómo resolver la indeterminación?

Acudiendo a (*): X × T2 = S.

Además, la última ecuación queda en

0 = 120 T2

Cosa que se satisface al ser T2 = 0 y 120 = a la velocidad media de ida y vuelta. En fin, una cuestión de ciencia-ficción

MI EXPLICACIÓN de la apresurada resolución inicial:

     En el enunciado, las cifras 60 y 120, junto con la palabra  media (1 / 2), encubren una indeterminación no manifiesta, que es preciso poner en evidencia.

Copio a continuación la solución que me da mi amigo Mariano Nieto tomada del libro de Martin Gardner Matemáticas para divertirse sobre el problema titulado VIAJE DE IDA Y VUELTA.

El señor Martínez quería viajar de Madrid  a Valencia y luego regresar a Madrid. Deseaba hacer el viaje completo a una velocidad media de 120 kilómetros por hora. Al llegar a Valencia descubrió que había realizado el viaje de ida a una velocidad media de 60 km/h. En primer lugar pensó que haciendo el viaje de vuelta  a 180  km/h conseguiría su objetivo, pero luego se convenció de que, cualquiera que fuera la velocidad de vuelta, nunca podría realizar el viaje completo a una velocidad media de 120 km/h ¿Cómo razonó el señor Martínez?

La distancia de Madrid a Valencia es de 360 km. Cuando Martínez llegó a Valencia había recorrido 360 km en seis horas. Como deseaba duplicar su velocidad media de ida y vuelta, lo que necesitaba era recorrer 720 km  en seis horas, que ya las había empleado  en el viaje de ida a Valencia.  Luego debería volver a Madrid en cero segundos y eso es imposible. Por tanto, por mucho que corra el señor Martínez nunca podrá realizar el viaje completo a una velocidad media de 120 km/h.