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MASAS GEOMÉTRICAS

Mi amigo Mariano Nieto que me surte de problemas variados y, sobre todo, curiosos, me recuerda a quienes en otros tiempos seguían fielmente a su torero predilecto a lo largo y ancho de la piel de toro para admirarlo en los cosos de verano.

El otro día me dijo que se iba a Valladolid para oir a su admirado amigo el gran matemático Javier García Capitán en una conferencia que debía dar con un título parecido al que encabeza esto.

La reacción no se hizo esperar. Aquí sigue mi interpretación de lo que me contó y los problemas que me planteó. Parece que el fondo de la cuestión estriba en mezclar la geometría con la estática.

A la hora de elaborar todo esto (hasta la Fig. 5 inclusive) yo no conocía la información sobre la Geometría de Masas que Mariano me facilitó después.


Sea el triángulo RST de baricentro B. Como es sabido, AB = RA / 3 (Fig. 1)


Supongamos la masa de RST debidamente concentrada y distribuida en sus vértices. El peso correspondiente vendrá dado por los tres vectores descendentes aplicados a esos tres vértices.

Si colgáramos en el aire al triángulo cogiéndolo por B, resultaría:

- RST se mantendría horizontal por la propiedad del baricentro (es el Centro de Gravedad del triángulo).

- El vector ascendente en B ha de ser la suma de los tres vectores de los vértices, precisamente para conseguir el equilibrio de la horizontalidad.

Veamos ahora cómo se distribuye la masa total del triángulo entre sus tres vértices.

Para que se produzca el expresado equilibrio, la condición es que la suma de fuerzas y de momentos sea igual a cero.

Si los vectores de los tres vértices son iguales, será:

VB = VR + VS + VT = 3Vi

Tomando momentos de los cuatro vectores respecto del lado TS, tendremos:

VB * BC = VR *RD          ;          VR = (BC / RD) * VB

El teorema de Tales aplicado al triángulo ADR nos da que (BC / RD) = 1 / 3, luego VR = VB / 3

De haber hecho lo mismo con los otros dos vértices S y T, habríamos comprobado que la masa del triángulo RST se reparte por igual (1 / 3) en cada vértice.


Supongamos ahora que trasladamos el vector VB de B a F, punto medio de la mediana RA (Fig. 2).


Ello equivale a establecer F como nuevo CdG con la consiguiente nueva distribución de reacciones en los vértices. Obtendremos ésta tomando momentos como hicimos antes:

VF * FE = VR * RD          ;     VR = (FE / RD) * VF          ;     VR = (1 / 2) VF

Reparto de las reacciones en T y S:

Mientras el CdG, en este caso F, se mantenga sobre la mediana RA, las reacciones en T y en S han de ser iguales ya que esa mediana divide al triángulo en dos áreas iguales (del mismo peso). Entonces tendremos:

VT = VS = (VF – VR) / 2 = [ VF – (1 / 2) VF ] / 2 = VF / 4


PROBLEMA 1

     Si en la Fig. 2 trazamos la recta TF que corta en X al lado RS (Fig. 3), averiguar el valor de la razón XR / XS.

Estando en equilibrio el sistema completo de fuerzas, también lo estará el subsistema de las contenidas en el plano vertical por RS.

Ese subsistema consiste en VR y VS actuando sobre RS con fulcro en X. Así pues, será:


VR * RX = VS * SX          ;          XR / XS = VS / VR = (1 / 4) / (1 / 2) = 1/ 2

Obsérvese que la reacción en X se obtiene tanto como perteneciendo al plano vertical por TX como por pertenecer al plano vertical por RS.

En el primer caso será:

VX = VF – VT = 1 – 1 / 4 = 3 / 4

Y en el segundo:

VX = VR + VS = 1 /2 + 1 / 4 = 3 / 4


PROBLEMA 2

     Dado el triángulo RST (Fig. 4):

Trazar SA = ST

Obtener D tal que DR = (1 / 4) RT

Unir A con D para obtener C sobre RS

Hallar CR / CS y CA / CD

Tracemos RA para constituir el nuevo triángulo RTA de mediana RS.

Además, como se ve en Fig. 5, pasamos el CdG de B a C calculando cómo quedan las reacciones en los vértices.


Cuando se haya conseguido el equilibrio del sistema completo, en el subsistema del plano vertical por RT se tendrá:

VR * RD = VT * TD        ;      VT = (1 / 3) * VR      ;      VA = VT     ;     VC = 5 * VT

Tomando momentos respecto a TR, de los 4 vectores, se tiene:

VC * CG = VA * AH

VC / VA = AH / CG = AD / CD = (AC + CD) / CD = (AC / CD) + 1    ;     AC / CD = 5 – 1 = 4

Tomando momentos respecto a TA:

VC * CE = VR * RF

VC / VR = RF / CE = RS / CS = (RC + CS) / CS = (RC / CS) + 1

VC / VR = (5 * VT) / (3 * VT) = 5 / 3

RC / CS = (5 / 3) – 1 = 2 / 3


                                       SIGUIENTE

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