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3ª ALTERNATIVA
Éste es el enunciado y la solución que propone el Profesor F. J. García Capitán.
En un colectivo de personas que tienen, todas, alguna o algunas de las tres deficiencias que llamaremos a, b, c, se sabe que el % de las que tienen, al menos, la deficiencia a es del 70 %; lo mismo para las que tienen la deficiencia b o la deficiencia c.
Se pide hallar el % mínimo de personas que podrían padecer las tres deficiencias simultáneamente.
En la Fig. 9 se muestran los tres conjuntos a, b, c con todos los subconjuntos que se pueden formar.
sumando las posibilidades de los que al menos tienen cada una de las deficiencias tenemos las relaciones:
x + v + w + s = 70
y + w + u + s = 70 (1)
z + u + v + s = 70
Recapitulando el total de 100 tenemos también x + y + z + u + v + w + s = 100. Sumando las ecuaciones de (1), tenemos
(x + y + z) + 2(u + v + w) + 3s = 210.
Agrupando p = x + y + z y q = u + v + w, el sistema se reduce a
p + q + s = 100 p = s - 10
⇒ ⇒ s ≥ 10
p + 2q + 3s = 210 q = 110 - 2s
Efectivamente, para s = 10 tenemos la solución de Fig, 10: p = 0; q = 90.
Fig. 10
Fig. 9
COMPROBACIÓN
Veamos cómo s no puede ser < 10. Hagamos s = 7, por ejemplo. Tendremos:
7 + 3x + 3u = 100
u = 32 x = -1
7 + x + 2u = 70
Inaceptable: x puede llegar a valer 0 pero no menos de cero.
En cambio, s sí puede ser > 10. Sea s = 13. Será:
13 + 3x + 3u = 100
u = 28 x = 1
13 + x + 2u = 70
Solución viable, como se ve, para: s = 13; x = y = z = 1; u = v = w = 28
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