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QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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Pgs. 1    2     

3ª ALTERNATIVA

Éste es el enunciado y la solución que propone el Profesor F. J. García Capitán.


En un colectivo de personas que tienen, todas, alguna o algunas de las tres deficiencias que llamaremos a, b, c, se sabe que el % de las que tienen, al menos, la deficiencia a es del 70 %; lo mismo para las que tienen la deficiencia b o la deficiencia c.

Se pide hallar el % mínimo de personas que podrían padecer las tres deficiencias simultáneamente.


En la Fig. 9 se muestran los tres conjuntos a, b, c con todos los subconjuntos que se pueden formar.

sumando las posibilidades de los que al menos tienen cada una de las deficiencias tenemos las relaciones:

x + v + w + s = 70

y + w + u + s = 70               (1)

z + u + v + s = 70


Recapitulando el total de 100 tenemos también x + y + z + u + v + w + s = 100. Sumando las ecuaciones de (1), tenemos

(x + y + z) + 2(u + v + w) + 3s = 210.

Agrupando p = x + y + z y q = u + v + w, el sistema se reduce a


p + q + s = 100                         p = s - 10               

                                   ⇒                                   ⇒    s ≥ 10

p + 2q + 3s = 210                        q = 110 - 2s         


Efectivamente, para s = 10 tenemos la solución de Fig, 10: p = 0; q = 90.


Fig. 10

Fig. 9

COMPROBACIÓN

Veamos cómo s no puede ser < 10. Hagamos s = 7, por ejemplo. Tendremos:


7 + 3x + 3u = 100

                                                   u = 32          x = -1

7 + x + 2u = 70


Inaceptable: x puede llegar a valer 0 pero no menos de cero.


En cambio, s sí puede ser > 10. Sea s = 13. Será:


13 + 3x + 3u = 100

                                          u = 28                 x = 1

13 + x + 2u = 70


Solución viable, como se ve, para: s = 13; x = y = z = 1; u = v = w = 28


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