ProbEsquiador

Un esquiador se desliza por la pista y a medida que va bajando lo hace cada vez más rápido, tanto es así que a cada minuto dobla su velocidad, tardando media hora en llegar al final de la pista. ¿Cuánto tardó en llegar hasta la mitad?

SOLUCIÓN

ANTECEDENTES.

     Veamos lo que pasa en distintos tipos de movimiento con el espacio recorrido S, al representarlos en el plano velocidad / tiempo que llamaremos V / T.

Movimiento rectilíneo y uniforme (Fig. 1). En ella se ve que siendo S = V * T, el espacio S recorrido desde el instante O hasta el C, viene representado por el área del rectángulo de base OC y altura v constante.

Fig. 1

Fig. 2

Movimiento uniformemente acelerado (Fig. 2). La aceleración a es constante e igual a la tangente del ángulo b, y la velocidad v es creciente con el tiempo. Siendo S = (1 / 2) (a T2), el área del triángulo rectángulo representa precisamente ese valor: la mitad de su base OC por su altura (igual a OC * Tang (b)).

En ambos casos se ve que, en el plano V / T, el espacio recorrido entre dos instantes está dado por el área limitada por el eje de tiempos entre dichos dos instantes y la “curva” (hasta aquí, una recta) de la función velocidad.

El caso del esquiador.

Hay que buscar esa función velocidad para integrarla igualando las dos mitades del espacio total.

Tengo que advertir que erré al apresurarme a pensar que la función buscada era la potencial y = x2 que me daba un tiempo de 23,81 minutos. En el cuadro siguiente   muestro esta función junto con la que es correcta, la exponencial y = 2 x-1. En él, y representa la ordenada velocidad y x la abscisa tiempo en minutos.

La longitud total de la pista vendrá dada por el área S que determina la integral