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QUÉ hay detrás

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Problema de Conjuntos

Sea el rectángulo en cuyos lados superior y derecho se asientan, en una situación cualquiera, los vértices A y B de sendos triángulos en los que esos vértices son opuestos a los lados inferior e izquierdo, respectivamente, de dicho rectángulo (Fig. 1).


C es el área común de los dos triángulos y el conjunto x, y, z es el área no común, dentro del rectángulo.

Averiguar la relación entre C y W = x + y +z

SOLUCIÓN

Llamando a al triángulo de vértice A y b al de vértice B, lo primero que se ve es que ambos triángulos tienen la misma área, y lo segundo, que ese área es igual a la mitad de la del rectángulo: cualquiera de ellos tiene como área ½  de la base por su altura, es decir el semiproducto de los lados del rectángulo.

La Fig. 2 muestra  a los dos triángulos superpuestos, es decir, un área igual a la suma de a + b – C; como C está en los dos triángulos, hay que descontarla una vez.

Así pues, se tendrá:

a + b – C = área del rectángulo – W

Como el área del rectángulo es igual a a + b según se ha visto, resulta que C = W:

El área común de los dos triángulos es igual al área no común de ellos dentro del rectángulo.

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Acudiendo a un diagrama de Venn se ve que el problema visto es un caso particular del general en que el conjunto Universo U (el rectángulo de antes o el círculo mayor de la Fig. 3) tiene un área doble que la de dos subconjuntos iguales y de área mitad a U (a y a): son los que en la Fig. 3 tienen C como intersección.

Si llamamos S al segmento circular subtendido por la cuerda común de los dos subconjuntos a, será:

C = 2S     ;     W =  U - 2 (a – S)

Como U = 2a, será: W = 2a - 2a + 2S     es decir     W = C


Mi amigo Mariano Nieto visualiza la cuestión de forma aún más simple: En una ventana con dos hojas de corredera iguales, abriéndolas de cualquier forma, resulta que siempre la parte común de los dos cristales es igual al hueco que dejan.

En la Fig. 4: Si la ventana está cerrada, tanto la parte común como la no común es cero. Si está abierta a tope (una hoja sobre la otra), ocurre lo mismo, porque al ser iguales las hojas, el hueco es igual a la superficie de los dos cristales superpuestos.

La Fig.5 muestra una situación intermedia. Llamando V a la superficie total de la ventana, H al conjunto hueco (marcado en los dos extremos) y C al área común (marcada en el centro), se tiene:



H + (½ V + ½ V – C) = V     ;     H = C