El problema de los Centros.  (ProbCentros)

Sea una circunferencia de radio R, e inscribamos en ella un triángulo cualquiera (sus tres lados, de línea continua). Obtengamos después la circunferencia inscrita en ese triángulo, que resultará de radio r.

Demostrar que si desde un punto cualquiera de la circunferencia R trazamos dos cuerdas tangentes a la circunferencia r, la tercera cuerda (línea discontinua en la figura) que cierra el nuevo triángulo inscrito en la circunferencia R, es tangente a la circunferencia r.

SOLUCIÓN

     Lo que se obtiene en el planteamiento inicial son el circuncentro y el incentro del primer triángulo. La fórmula de Euler, de fácil demostración, expresa que la distancia d entre esos dos puntos singulares viene dada por d2 = R2 – 2Rr que es constante y dependiente sólo de R y r.

Así pues, según ella, cualquier triángulo inscrito en la circunferencia R que tenga dos lados tangentes a la circunferencia r, ha de tener también su tercer lado tangente a dicha circunferencia r.