ProbAjedrez
(Inspirado en el libro de J. D. Sánchez Torres titulado Matemáticas recreativas)
Se plantea un campeonato de ajedrez con estas condiciones:
1. Puede participar cualquiera. Se fija una fecha límite para la recepción de instancias.
2. Ordenadas éstas cronológicamente, se organizarán las eliminatorias de manera que, por parejas aleatorias, queden eliminados los perdedores de cada partida. Los ganadores pasarán a la eliminatoria siguiente.
Si se presentaron 2000 concursantes, determinar cuántos aspirantes participaron, cuántas eliminatorias se produjeron y cuántas partidas se jugaron.
SOLUCIÓN
La eliminación por parejas supone que, sucesivamente, en cada eliminatoria desparecerá la mitad de los que participan en ella. Como esto ha de poder suceder de principio a fin del campeonato, se requiere que el número de los que lo inicien sea una potencia entera de 2. No basta que esa cantidad sea par. Si, por ejemplo, fueran 6 los participantes, después de la primera eliminatoria quedarían 3 que resultan imposibles de acomodar en la siguiente eliminatoria.
Veamos, pues si 2000 es potencia entera de 2:
2000 = 2n
log 2000 = n log 2
n = 10,96
n no resulta entero; el entero más bajo es n =10; como 210 = 1024, a los 2000 concursantes habrá que cortarlos desde el 1024 hacia abajo.
El campeonato se planteará como una progresión geométrica cuyos elementos son las mesas activas (las ocupadas por dos contendientes en juego). Será decreciente de razón 0 ,5 y primer término 512. (1024 participantes / 2 = 512 mesas activas en la primera eliminatoria).
Después de la primera eliminatoria quedarán, 256 mesas activas (cada mesa activa equivale a una partida), y así sucesivamente. Pero claro, cada partida jugada hay que acumularla al sumatorio para saber, al final, cuántas de ellas ha habido en total.
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
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1023