ProbABC

Construir un triángulo conociendo sus tres ángulos A, B y C. Los valores de estos son:

A = arctang (1)

B = arctang (2)

C = arctang (3)

--oo0oo--

Lo primero que hay que observar es que la solución conduce a muchos triángulos: dos triángulos semejantes son distintos pero tienen sus ángulos iguales. No es como el caso de construir un triángulo conociendo sus tres lados: el resultado es único.

En la parte superior de la Fig. 1 se ven tres triángulos rectángulos cuyas bases son la unidad y sus alturas, respectivamente 1, 2 y 3. Con ello se han conseguido los tres ángulos A B C del enunciado.

La figura inferior izquierda se consigue por traslación de los triángulos superiores. Luego se da por supuesto que el enunciado no nos engaña, es decir, que A + B + C = 180º (*).

Admitido (*), la figura inferior derecha se logra girando a la izquierda el triángulo en A alrededor de ese vértice hasta que su hipotenusa coincida con la del triángulo en C. El triángulo ABC solución se obtiene trazando las dos líneas rojas: la inclinada es paralela a la hipotenusa del triángulo en B y la otra es prolongación del anterior segmento BC, siempre contando con (*).

Pero en realidad no se ha demostrado (*), simplemente se ha aceptado. La demostración práctica me la da exactamente mi calculadora de bolsillo al sumar los valores A,B,C del enunciado: 180º.

Mostraré, por fin, la elegante construcción-demostración del profesor García Capitán (Fig. 2). En ella aparece el triángulo ABC de la Fig.1, añadiendo dos cuadrados de lado AC. Se han trazado después las diagonales CG y AE. Ésta última debe quedar superpuesta al lado AB ya que el ángulo A del triángulo ABC mide 45º.

Fig. 1

Fig. 2