Los números primos

Estos primos constituyen una hermandad, una fraternidad, un conjunto muy particular. Lo leemos en La Venganza de don Mendo que expresa

los nobles pravianos,que son los tres primos porque son hermanos…

Me voy a permitir renombrar a los tres hermanos a partir de uno de ellos: don Tirso, don Tarso y don Terso. Los tres, y cada uno, eran primos del conde en razón de que ellos eran hermanos y, por tanto, con igual derecho de primacidad en relación al conde.

Los números primos son un subconjunto dentro del conjunto infinito de los números naturales. Éstos son infinitos, por definición: al ampliarse su conjunto con sólo añadir un número más, ya se ve que la sucesión no tiene límite. Otra cosa es que, como los números naturales se emplean para contar cosas, y las cosas materiales son limitadas, no vayamos a poder ampliar cantidades de manera imaginaria, virtual que decimos ahora. Se acepta como axioma, que los números naturales son infinitos.

Y, los primos, ¿qué son? Pues son la materia prima (excúseme el pleonasmo) de que están hechos todos los números naturales. Estos, todos, o son primos o son compuestos, es decir compuestos por números primos.

Son, en cuestión de números, los análogos de los elementos químicos del Sistema Periódico constitutivos de la materia. Tan solo hay una pequeña diferencia entre ellos: Los primos son infinitos y los elementos químicos, no.

Desde que Mendeleyev publicó su tabla periódica de los elementos químicos en 1869 no ha cesado la incorporación a ella de nuevos elementos. Incluso ya existían en dicha tabla huecos, desde su origen, para poder recibir a esos nuevos to be que aún eran desconocidos, pero intuidos por la organización de la propia tabla.

Sin embargo, ha llegado un momento en el que los elementos resultan más raros que las “tierras raras”, de vida cada vez más breve e, incluso, se sabe de elementos que existieron pero que dejaron de existir al faltarles estabilidad. Hoy, los nuevos elementos se sintetizan en el laboratorio aunque no se encuentren en la naturaleza. Con los aceleradores de partículas se consiguen átomos más inestables y más pesados, porque tienen más protones y neutrones en su núcleo.

De ser infinita la cantidad de nuevos elementos químicos, estos llegarían a tener unos átomos gigantescos, cosa que es contra natura, pues los átomos, por definición, tienden hacia lo pequeño.

Un número primo es el entero positivo que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. Uno compuesto se puede dividir por cualquiera de sus factores primos en que puede descomponerse, produciendo una división exacta.

Los números naturales también se pueden agrupar de otras dos formas: los pares y los impares. Los pares son múltiplos de 2 y los impares, no.

El 2 se tiene como número primo, por excepción, ya que es sólo divisible por sí mismo y por la unidad. Se ha decidido así aunque el 2 es par.

Todos los demás números pares son compuestos al poderse dividir, al menos, por 2. La unidad, 1, no es ni primo ni compuesto.

Que todos los pares, con la dicha excepción del 2, sean compuestos no quiere decir que todos los impares sean primos. Ejemplos de impares compuestos: 21 = 7 * 3; 33 = 11 * 3; 121 = 11 * 11.

Euclides (325 a C) demostró que los números primos son tan infinitos como los números naturales en que están incluidos; esa demostración parece innecesaria precisamente por la relación entre ambos. Pero es muy elegante.

Supongamos que 13 es el último primo conocido.

Multipliquémosle por todos los primos que hay delante de él:

2 * 3 * 5 * 11 * 13 = 30.030

30.030 será primo, o no (ya se ve que no lo es, porque es par). Si lo fuera ya sería un nuevo primo mayor que 13. Si no lo fuera, sería compuesto, es decir, divisible por cada uno de esos cinco números primos, o por algunos otros nuevos primos comprendidos entre 13 y 30.030.

Si a 30.030 le añadimos 1 (una unidad), 30.031 será asimismo primo o compuesto, como antes; si fuera primo ya tendríamos otro nuevo mayor que 13. De ser compuesto, no siendo divisible por ninguno de esos seis primos (es muy fácil comprobarlo: todas las divisiones resultan inexactas) tendrá que ser divisible por otro primo P comprendido entre 13 y 30.031, es decir, por otro mayor que 13.

Como se ve, siempre hay un número primo mayor que cualquier otro conocido. Y así hasta el infinito. De hecho resulta que 30.031 (otro número compuesto impar) = 59 * 509 (no sólo uno: dos números primos, cualquiera de ellos mayor que 13).

Conjetura de Goldbach (1690). Se enuncia así: “Para todo número par superior a 2, siempre hay al menos una pareja de números primos cuya suma es igual al par de partida”.

Aunque hay infinidad de demostraciones que pretenden probar el enunciado, parece que hasta el presente nadie lo ha conseguido. Los matemáticos más serios son unos tiquismiquis según piensan los ponentes.

Yo, que ni pongo ni quito, me voy a limitar a aplicarle la conjetura al par 200.

Resulta que no es que haya solo una pareja de primos para él, que la cumplen. Hay 8, y son éstas:

3; 197

7; 193

19; 181

37; 163

43; 157

61;139

73; 127

97; 103

El procedimiento de obtención para números pequeños es sencillo. Extender en dos renglones la mitad de los números para obtener las parejas, en vertical, que sumen 200. Luego se van tachando las parejas cuyos dos componentes no sean primos.

A la hora de tachar, saltan a la vista los múltiplos de 2, 3 y 5. Los menos evidentes hay que tratarlos con un calculador de primos. La primera tachadura se justifica porque, aunque 199 es primo, 1 no lo es (ni tampoco es compuesto).