(**) Crecimiento exponencial: el interés compuesto


En mi conferencia en el Ateneo de Madrid (Diciembre de 2009) que titulé “Los límites del crecimiento en el umbral de un nuevo paradigma” decía, entre otras cosas:


“La población humana crece exponencialmente y, lo mismo que hay crecimiento exponencial en la biología, la experiencia histórica muestra que también se da en el crecimiento del capital industrial, al menos desde la revolución industrial … y ello tiene sus consecuencias de entorno: en el interés compuesto bancario, la dinámica del PIB, etc.”


Pues bien, vamos a refrescar lo que aprendimos sobre el interés compuesto cuando estudiábamos aritmética mercantil, porque nos va a ser útil para acercarnos al estudio demográfico.


Interés simple:                                  C es el capital inicial, r el rédito en % y t el tiempo.



El interés compuesto consiste en acumular al capital inicial, el interés producido al final de año para generar así un nuevo y mayor capital inicial para el siguiente año, y así sucesivamente.


C0: Capital inicial al comienzo del primer año.

C1: Capital al comienzo del segundo año.

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QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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                                                                                         Pgs.  1     2     3     4     5     6     7     8  


[t = 1: el año transcurrido]

Representa el capital acumulado al cabo de n años a partir de un Capital inicial C0 con un rédito de r % anual.

Esta última fórmula es de aplicación directa a los problemas demográficos:

Cn es la cantidad de población en que se convierte una inicial C0 al cabo de n años cuando durante ese tiempo la población ha crecido a una tasa anual constante de r habitantes por cada 100 de los existentes al inicio.

De ella podemos hacer una serie de deducciones:

Una deducción muy útil es la de saber en cuánto tiempo se duplicará una población que crece exponencialmente con una tasa anual de r %. Este concepto es aplicado con profusión en la obra de Malthus.

En la última fórmula se ve que para Cn / C0 = 2, será:

Veamos un ejemplo de mucho efecto para quienes nunca meditaron antes sobre el crecimiento exponencial.

Un niño, al nacer mide 0,5 m y cuando llega a los 5 años ya mide un metro. Es decir, en cinco años la criatura ha duplicado su estatura, lo que supone una tasa r de crecimiento anual acumulativo de

De continuar con ese ritmo de crecimiento, cuando la criatura cumpla 80 años medirá:

Redondeando, 33 Km … de estatura.

Al mismo resultado llegamos si nos manejamos con una progresión geométrica en la que, para razón 2, y en el caso del niño, se tiene:

an = a1 2n-1

Aquí, realmente, n no sería 80, sino 1 + 80 / 5 = 17 ya que la duplicación no ocurre cada año, sino cada 5. Así pues, será:

a80 = 0,5 * 217 - 1 = 33 Km como antes

En demografía se utiliza mucho una rutina (la empleó Salustiano del Campo en su conferencia y la Emplea D. Meadows en su libro citado al principio) para obtener rápidamente los años de duplicación de una población que crece a una tasa del r % anual acumulativo. Es

Se pueden observar varias cosas en la tabla anterior.

* 72, el numerador de la fórmula abreviada se corresponde, como es natural, con r = 1 en la tabla.

* Los valores de n para la fórmula abreviada de la tabla se han obtenido al dividir 72 por sus correspondientes valores de r.

* La semejanza de los valores de n en ambas fórmulas, logarítmica y abreviada, crece con r.




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En la siguiente tabla se comparan los valores resultantes de la fórmula logarítmica con los de la abreviada.

Tomando logaritmos en la fórmula básica, será:

Fórmula básica: