APÉNDICE INTERNO PARA NO CREYENTES (*) / (**)

(los creyentes en las fórmulas pueden saltárselo y continuar luego con D. Salustiano del Campo)


(*) Cálculo del área de una esfera de radio R












   Fig. 2


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QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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                                                                                         Pgs.  1     2     3     4     5     6     7     8  


Sea la circunferencia C  ≣  x2 + y2 = R2 (Fig. 2) correspondiente al círculo máximo horizontal de la esfera de radio R y centro en O. Será:

Derivando la ecuación de C respecto de x, tenemos:

Tracemos por el punto (x, 0) un plano perpendicular al eje X que cortará a  la superficie de la esfera según una circunferencia de radio y. Imaginemos después otro plano paralelo al anterior e infinitamente próximo a él. Así se obtendrá en la circunferencia C el arco dl, y consiguientemente, el triángulo rectángulo en el que dl es la hipotenusa y, dx ; dy, los catetos (ver el dibujo ampliado en un círculo).

Al mismo tiempo hemos generado la superficie troncocónica de radios (y), e (y – dy), y generatriz dl.

Integrando la superficie lateral de este tronco de cono desde x = 0 hasta x = R, tendremos el área de la semiesfera que queda en el lado de las x positivas. Así será:

Veamos ahora cual es el área lateral de un tronco de cono con una base mayor de radio y, y generatriz g.

Sea (Fig. 3) el desarrollo del cono de generatriz g2 y radio en la base r2. Superpuesto a él está el desarrollo del cono menor de generatriz g1 y radio r1 siendo g = g2 – g1 la generatriz del tronco de cono que se forma. Como área del desarrollo de cada cono tendremos A2 y A1:

El área desarrollada del tronco de cono será:

Por otra parte es

que nos da

Si asociamos los elementos de esta última igualdad a lo expresado en las figuras 2 y 3, tendremos:

r2 = y

g = dl

tiende a 2 cuando g = dl tiende a cero.

A equivale a la diferencial de área troncocónica ds.

Con lo cual queda                    ds = 2πy dl

S es, como se dijo antes, la superficie de una semiesfera. La de la esfera completa será     E = 2S

       ds = 2π

          ds =

                 S = 2π

E=

La superficie de la esfera equivale a la de 4 de sus círculos máximos.

No hay que fiarse demasiado de los procedimientos originales. Uno mío de esos originales  me daba pi en vez de cuatro círculos máximos.

He acometido esta digresión para no creyentes orientada a quienes tengan, respecto de las fórmulas, menos fe que Abrahán, y para mostrar que se puede, y es entretenido, recordar.

Y para taparle a mi nieto la boca cuando dice que lo que se estudia no sirve para nada. Y porque en relación con la esfera he visto por ahí que la superficie infinitesimal es la de un cilindro de altura dl: me parece más propio invocar al tronco de cono.




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