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QUÉ hay detrás

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Pgs. 1    2

INVERSIÓN

(Invención Peaucelier – Lipkin, 1864)

La Fig. 1 representa dos cosas:

-Una plancha metálica plana de unos dos cm de espesor en la que se pueden practicar ranuras que guiarán los bulones que articulan los diversos eslabones del cinema.

-El dibujo necesario para explicar geométricamente el comportamiento cinemático del sistema.


El inverso del punto A respecto del centro de inversión O (centro de la circunferencia que llamaremos CO) es A´ que se obtiene así: Desde A se traza la tangente a CO y desde el punto de tangencia, la perpendicular a OA.


Si unimos el punto de tangencia con O se evidencia el triángulo rectángulo de hipotenusa OA al que podemos aplicar el teorema del cateto: Un cateto es la media proporcional entre su proyección sobre la hipotenusa y dicha hipotenusa. Es decir, siendo RO el radio de CO, será:


(RO 2) = OA´ × OA


Por el mismo procedimiento podemos obtener B´, el inverso de B y C´, el de C (en estos dos últimos casos se ha ocultado el cateto menor, para mayor claridad). Fácilmente se ve que el inverso del punto del infinito de la recta BC es O, el centro de CO. Así tendremos:


(RO 2) = OA´ × OA  = OB´ × OB = OC´ × OC = k


k es la potencia de la inversión.

Fig. 1

OB × OB´= k


OA × OA´= k


OB / OA = OA´/ OB´


Esta última igualdad sirve para demostrar que los puntos A´, B´ y C´ están en una circunferencia de centro P, el punto medio de OA´. Esa circunferencia es, pues, el lugar geométrico de los puntos inversos respecto de O, de aquellos que constituyen la recta ABCD ...


En la Fig. 1 se ven los tres vértices de un triángulo señalados como O, A´, B´, así como la altura correspondiente al vértice B´ de dicho triángulo.


La última igualdad afirma que el triángulo O A´ B´ es semejante al OAB; como éste es un triángulo rectángulo, su semejante también ha de serlo. La única manera de que tal ocurra es siendo recto el ángulo OB´A´.

Fig. 2

Es decir, el vértice B´ del ángulo recto esta sobre la circunferencia de diámetro OA´ y centro P. Lo mismo se puede aplicar al inverso C´ o a cualquier otro que no se ha considerado. Naturalmente, esa circunferencia pasa por O que es otro punto inverso.


En la Fig. 2 se han hecho a la 1 tres ranuras (en rojo): la de la recta vertical ABC,  la del arco B´A´C´ y la de la recta horizontal en la que se sitúa el punto D´´.