QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

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GALILEO


Galileo se mostró paradójico al tratar con el infinito (el grande o el pequeño). Veamos dos ejemplos, respectivamente.


Si observamos los 20 primeros números naturales veremos que entre ellos hay sólo tres cuadrados perfectos (4, 9 y 16); los 17 restantes no lo son. Ello podría hacernos pensar que existen muchos menos cuadrados perfectos que no cuadrados. Sin embargo, al tomar el conjunto infinito de los números naturales, como cada uno de ellos, sea o no cuadrado perfecto, tienen su cuadrado, resultará que en el infinito hay igual cantidad de números cuadrados que de no cuadrados.


Esta otra paradoja se refiere a lo infinitamente pequeño. Veamos cómo está compuesta la figura.

Cuadrado ABCD; diagonal DB; una perpendicular HE cualquiera, a AB; arco AC de centro B; recta BF; tres circunferencias con centro en H y radios respectivos HG, HF y HE.


En el triángulo rectángulo HBF se tiene:


BF2 = HB2 + HF2          (*)


Pero también es


BF = BC y BC = HE


Luego


BF = HE


Por otra parte, en los triángulos BDA y BGH tenemos:


HG / HB = AD / AB = 1


De donde


HG = HB


Con lo visto hasta aquí, (*) puede tomar la forma


HE2 = HG2 + HF2 y también la de


HG2 = HE2 - HF2


Multiplicando por π todos los miembros de esta última igualdad, tendremos:


π HG2 = π HE2 - π HF2

que equivale a decir que el área del círculo pequeño (de radio HB) es igual al área de la corona circular más exterior que se muestra.


Recordemos ahora que al comienzo se dijo que la perpendicular HE era una cualquiera. Veamos, pues, qué ocurre si en la construcción el punto H se tomara acercándose a B. El resultado sería que el área del círculo pequeño tiende a cero convirtiéndose en un punto cuando en el límite H coincide con B.


En esas condiciones también ocurre que HF tiende a HE, con lo que el área de la corona más exterior tiende a cero, es decir la superficie de una corona circular se convierte en una circunferencia (la de radio BC).


O sea, en el límite de lo infinitamente pequeño, una superficie circular se convierte en un punto y una superficie coronaria en una circunferencia: paradoja que indica que no puede mezclarse lo infinito con lo finito de la realidad.