EL CASO DE LA PALANCA DE DIRECCIÓN
1- El ensayo consistirá en someter la pieza (chaveta incluida en el chavetero) a una flexión alternada (frecuencia de 1.500 ciclos por minuto) equivalente a un esfuerzo en su extremo de ½ de la carga de rotura estática.
Se define como fallo: un inicio de rotura; la rotura total; una holgura superior al 10% de la semiamplitud.
2/3- Inspirados en la curva de Wohler para fatiga de piezas se toma como θ0 = 5 ⨯ 106 ciclos y
θ1 = 5 ⨯ 105 ciclos. Proveedor y Fabricante acuerdan asimismo asumir unos riesgos de α= 5% y
β = 10%.
4- Se decide hacer un ensayo secuencial pieza a pieza.
La razón de verosimilitudes, que es común a ensayos censurados y truncados, con o sin reposición, para un número r de fallos y un tiempo acumulado de ensayo Tac (medido en ciclos), vale (ver mi libro CALIDAD. FIABILIDAD, ISBN 84-87840-06-X):
Obsérvese que el cociente L siempre se toma como del valor sub1, al sub 0. Wald, que desarrolló esta sistemática en la Universidad de Columbia en 1943, hace la siguiente aplicación a esta relación:
Si L es grande (mayor o igual que una cantidad grande que fijemos), estaremos en situación de rechazar porque el denominador L(θ0) será pequeño. Es decir, será poco verosímil (habrá poca probabilidad) que estemos ante un MTBF = θ0.
Al contrario, si L es pequeña (menor o igual que una cantidad pequeña prefijada), ello se deberá a un denominador grande, a una gran probabilidad de θ0 que justifica una situación de aceptación.
Los valores grande y pequeño que Wald adopta como referencia de contraste son, tomados de la figura con que antes representábamos el Plan de Fiabilidad:
Valor grande: (1 - β) / α ; Valor pequeño: β / (1- α)
Recuérdese una vez más que estos dos cocientes se refieren a las situaciones θ1 como numerador y θ0 como denominador.
El Plan será, pues, el siguiente:
L ≥ (1 - β) / α ⇒ RECHAZAR
L ≤ β / (1- α) ⇒ ACEPTAR
β / (1- α) < L < (1 - β) / α ⇒ CONTINUAR EL ENSAYO
Sustituyendo valores en la expresión exponencial de más arriba y, aplicando logaritmos, tendremos:
≥ (1 - β) / α RECHAZAR
RECHAZAR
RECHAZAR
Análogamente se tiene:
ACEPTAR
Estas dos desigualdades son, en el límite, la ecuación de sendas rectas paralelas (tienen el mismo coeficiente angular s) en el plano r (abscisas) / Tac (ordenadas). Las respectivas ordenadas en el origen h1 y h2, y el coeficiente angular s, que se obtienen con facilidad, valen:
Teniendo en cuenta que la abscisa en el origen correspondiente a h1 vale r0 = - h1 / s, y aplicando los valores de partida, tendremos:
h2 = 1,25 106 ; s = 1,28 106 ; r0 = 1,6 / 1,28 = 1,25
En el siguiente cuadro se resumen las particularidades de los seis puntos destacados en la figura que se muestra después.
ALGUNAS OBSERVACIONES
- Hay que recordar que en el ensayo de un lote se acumulan tanto los ciclos soportados por cada pieza hasta su fallo, como la cantidad de piezas ensayadas.
Así, en la ruta superior, la primera pieza tiene su primer fallo a los 1,25 ⨯106 ciclos, es decir, las piezas falladas se cuentan por la cantidad de frontales verticales de la escalera, que son 5.
En la ruta inferior hay 6 frontales verticales: el primero es de escasa duración, de manera que entre los dos primeros se acumularon aproximadamente un millón de ciclos; la sexta y última pieza que acumuló con las otras cinco, 5,25 ⨯106 ciclos, aguantó bastantes menos ciclos que sus cuatro anteriores.
- Por poco que sea el tiempo que haya tardado en llegar el primer fallo, no se podrá rechazar: hay que superar los 1,25 fallos de r0, es decir, hay que aguardar a tener al menos dos fallos para rechazar.
- Tampoco se podrá aceptar con menos de 1,25 ⨯106 ciclos aunque no haya ocurrido fallo: hay que superar esos 1,25 ⨯106 ciclos.
- Lo anterior quiere decir que se acumula muy poco tiempo con lotes muy buenos o con lotes muy malos; en cambio, los intermedios pueden requerir bastante tiempo.
- La figura anterior muestra dos rutas de ensayo de esos lotes intermedios: La superior que conduce a la aceptación, y la inferior que produce rechazo.
- El cuadro de valores que antecede a la figura recoge las diversas circunstancias comentadas. Hay que recordar que esos resultados son acordes con el Plan de Fiabilidad establecido entre Fabricante y Proveedor: valores de riesgo α y β, y de MTBF θ0 θ1 .
- Ya se ve que con un poco de mala suerte el ensayo se puede prolongar en exceso encareciéndose en tiempo y piezas destruidas (es, en definitiva, un ensayo con reposición).
- Para evitar lo anterior se puede establecer a priori y simultáneamente, una censura a r1 fallos y un truncamiento a sr1 unidades de Tac. Al final, la ruta de ensayo se encontrará con el ángulo ABC: Si tiende a traspasar el lado AB, se acepta; si el BC, se rechaza.
- La determinación de r1 la hace Benjamin Epstein (Wayne University) como r1 =3r obteniéndose r de la forma que sigue.
Tanto en ensayos censurados como truncados, el límite superior de θ vale:
- Cuando hablamos de θ0 y θ1 estamos hablando de θs en sus dos hipótesis: nula, θ0, NCA; alternativa, θ1, NCI. Asimismo, el nivel de confianza 1 - α de θs se valora (ver la figura del Plan de Fiabilidad cuyas ordenadas son, precisamente, probabilidad de aceptar) como que es 1 - α la probabilidad de aceptación con θ0 , y β en el caso de θ1. Así pues, será:
que en nuestro caso dará:
Se trata de encontrar el menor valor de r que satisfaga esta última expresión acudiendo a la tabla de la distribución χ2. De ella podemos extraer los valores del siguiente cuadro en el cual, 2r es el valor que expresa los grados de libertad en la tabla de la χ2.
En el cuadro anterior se ve que r = 3 da el valor 0,15 para el cociente de las χ2, que es el más próximo de todos al θ1 / θ0 = 0,1 que necesitábamos. Como habíamos planteado que r1 =3r, que la censura se habría de producir a los r1 fallos y el truncamiento a sr1 unidades de Tac, resultará que a 3 ⨯ 3 = noveno fallo (o a 11,52 ⨯ 106 ciclos acumulados) se acabará el ensayo con el resultado que corresponda: aceptar o rechazar.