QUIÉN hay detrás

QUÉ hay detrás

INICIO

ARTE

cardiode


Una cardiode es una curva epicicloidal simétrica que está generada por un punto fijo en una circunferencia generatriz que gira sin deslizamiento sobre otra circunferencia directriz fija y de igual diámetro.


Las cicloides pueden generarse sobre rectas o sobre curvas. Si sobre el lado convexo de una de éstas, está la epicicloide. Si bajo el lado cóncavo, la hipocicloide. Las epicicloides son de especial aplicación para diseñar los perfiles de los dientes de los engranajes.


La cardiode, aparte de su importancia geométrica y mecánica es una fuente de inspiración artística muy particular: no hay más que ver una hermosa representación de Joe Leys (no confundir con el famoso boxeador Joe Louis). Yo que, modestamente, no puedo exhibir ni siquiera el clásico vídeo que muestra en vivo su definición, me conformo con estas tres variaciones estáticas, a la vez que de fina estética.

Lo primero es dividir la circunferencia directriz en n partes iguales (ocho en este caso). A continuación, se trazan las rectas que unen el punto singular principal con cada uno de los otros seis puntos marcados en la circunferencia. Luego se asienta el segmento 4r sobre esas rectas de tal manera que el punto medio de dicho segmento 4r coincida con cada punto marcado en la circunferencia directriz.


El lugar geométrico de los puntos extremos de las cuerdas obtenidas será, al unirlos mediante una spline, la representación de la cardiode (en rojo).


En la Fig. 2 se ve, además de la cardiode, estas dos circunferencias concéntricas: La interior que es la directriz, y la exterior, que es la tangente a la cardiode en el punto singular secundario.


Comparando las cardiodes de las Figs. 1 y 2 se ve que en esta última se alcanza el punto singular, que es lo correcto, mientras que en la otra, no. Ello es debido a que en la 1 se quiere hacer notar el papel del extremo de la cuerda como del lugar geométrico que define la curva.

                              Fig. 1

                              Fig. 2

2ª Variación.

En la Fig. 3 se ve cómo la cardiode se resuelve como envolvente de un conjunto de sus tangentes. Para ello se parte de una circunferencia que se divide en n partes (24 en este caso), numerando los puntos obtenidos.



Después se determinan las tangentes que se materializan de la siguiente manera:

Cada punto n se unirá con el 2n, empezando con el 1 y terminando con el 12. Las tangentes serán, pues:

1-2; 2-4; 3-6; 4-8; 5-10; 6-12; 7-14; 8-16; 9-18; 10-20; 11-22; 12-24.


Como se ve en la Fig. 4, la simetría hace el resto. Esta 2ª Variación es la que emplea Joe Leys, tal como indiqué al principio. Se puede ver, magnificada, en la pág. 139 de El libro de las Matemáticas (Clifford A. Pickover).

1ª Variación.

En la Fig. 1 se ve la circunferencia directriz de radio r que muestra a su izquierda como foco brillante, el punto singular principal de la cardiode. Distante 4r de él a lo largo del eje horizontal (su extremo derecho), está el punto singular secundario. Se corresponde con el punto (distante 2r) donde harán tangencia las dos circunferencias, directriz y generatriz cuando esta última haya dado media vuelta alrededor de la primera. Sobre el eje horizontal se ven los dos centros de esas circunferencias. Dicho eje horizontal es el de simetría de la cardiode. Es la cuerda de ésta que vamos a emplear para construirla siguiendo la pauta que veremos a continuación.